Vektoren - Parameterdarstellung

12.03.2013, 23:45

Tipso

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Vektoren - Parameterdarstellung

Hi,

Zitat:

1) A = (1 | 2 | 3); B = (1 | 0 | –1); C = (0 | 0 | 1); D = (0 | 2 | 5)
Geben Sie mehrere verschiedene Darstellungen der Geraden g_1 durch A und B. Welche ist die
naheliegendste, welche ist die „einfachste“?
Geben Sie eine Darstellung der Geraden g_2 durch A und B.
Beurteilen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden.

Mir ist die Aufgabe nicht ganz klar.

Welche ist die g_1? $\begin{eqnarray*} \vec{AB} = g_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{BA} = a \end{eqnarray*}$

Welches ist die g_2? $\begin{eqnarray*} \vec{CD} = g_2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec{DC} = a \end{eqnarray*}$

1.

Zitat:

Geben Sie mehrere verschiedene Darstellungen der Geraden g_1 durch A und B. Welche ist die
naheliegendste, welche ist die „einfachste“?

Unterscheiden werden diese durch die Richtung:

Vom Punkt A zu B oder umgekehrt.
Die Orientierung ist also egal.
Variabel ist auch die Länge, sie darf ein beliebiges Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$
sein.

Beispiele:

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = B + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

........................................................................................

naheliegenste?

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

für s = 0 ?

Ich kann die Gerade kleiner bzw. größer machen, indem ich die Variable verändere.

einfachste?

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

s = 1

----------------------------------------------

Zitat:

Geben Sie eine Darstellung der Geraden g_2 durch A und B.

Wie soll dies gehen?

lg

13.03.2013, 00:24

mYthos

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Schreibfehler! Ansonsten wäre g1 = g2 und C, D würden nicht mitspielen.
Auch in deinem Text sind Fehler, also prüfe besser vor dem Absenden.

Dein Text ist übrigens diesmal chaotisch und nicht verständlich.
Z. B. ist eine Gerade eine Gerade und die kann man nicht größer oder kleiner machen.
_____________

Bei der Parameterdarstellung hat man die Wahl des Stützpunktes und auch der Richtungsvektor kann verlängert oder verkürzt werden.
Dabei verändert sich der Parameter (s) entsprechend.

mY+

13.03.2013, 00:45

Tipso

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Ein neuer Versuch die Fragen zu beantworten:

Ich fange mit der ersten Frage an:

Zitat:

Geben Sie mehrere verschiedene Darstellungen der Geraden g_1 durch A und B.

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = B + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = B + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = B + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = B + s \vec{BA} \end{eqnarray*}$

1.
s = 0
2.
s = 1
3.
s = 2
usw.
s = -1

Die erste Frage damit beantwortet?

Zitat:

Welche ist die
naheliegendste, welche ist die „einfachste“?

Ich verstehe nicht den Unterschied zwischen "naheliegend" und "einfach"?
Ist zb.

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

s = 0

nicht, dass einfachste und nagehliegendste?

einfach:

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

s = 1

Naheliegend:

$\begin{eqnarray*} X = A + s \vec{AB} \end{eqnarray*}$

s = 0

Soweit alles richtig?
Wurden die Fragen vollständig beantwortet?

lg

13.03.2013, 01:10

mYthos

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Keineswegs.

Warum schreibst du alles doppelt?
s ist ein Parameter und wird in der Regel überhaupt nicht berechnet, denn er durchläuft alle reellen Zahlen.

Hast du überhaupt den Sinn der Parameterdarstellung verstanden?
Was passiert, wenn für den Parameter (s) eine feste Zahl eingesetzt wird?

Und schließlich, die dir (mit den Zahlenangaben) gestellte Aufgabe hast du überhaupt nicht behandelt.

mY+

13.03.2013, 01:16

Tipso

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Ist dasselbe?

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \vec{BA} \end{eqnarray*}$

2.
Ich habe erstmal die Vorgehensweise aufgeschrieben.
Jetzt müsste ich nur noch die Zahlen einsetzen. Ich bin mir aber bei einigen Dingen noch unsicher. (Verständnis)

3.
Wenn ich für s eine feste Zahl einsetze, wird diese mit meiner Strecke multipliziert, ich erhalte also ein vielfaches meiner Strecke.
Was passiert wenn ich für s eine negative Zahl einsetze?

4.
Warum ist der Normalvektor in 2D vom Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lg
Ps.
Ich bin off. (sehr müde).
Ab Morgen wieder online.
Gute Nacht. Freude

Freude

13.03.2013, 20:44

mYthos

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Nein,

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = - \vec{AB} \end{eqnarray*}$ , das ist also nicht das Gleiche. Die Vektoren haben den gleichen Betrag, sind aber entgegengesetzt orientiert.

Was ich meinte, war, du hast je 2 Zeilen für X doppelt geschrieben, aber egal.

Ad 3.
Wenn das Vorzeichen des Parameters geändert wird, werden Punkte der Geraden erreicht, die nicht in der Richtung des Richtungsvektors liegen,
sondern in der entgegengesetzten Richtung.

Ad 4.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht aufeinander stehen, ist Null.
Probiere das mal mit den beiden Vektoren (2; 3) und (3; -2) aus ...

mY+

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13.03.2013, 22:50

Tipso

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Hi,

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = - \vec{AB} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = \vec{AB} \end{eqnarray*}$

hier ist ja ein Unterschied.

Was macht das - aus einem Vektor?

Ad 3.

Also wenn mein Vektor nach Osten zeigt, erhalte ich Punkte auf dem Norden.

Ad 4.
Skalarprodukt
gibt mir den Winkel zweier Vektoren.

6 + (-6) = 0

$\begin{eqnarray*} cos^{-1}(0) = 90° \end{eqnarray*}$
Ps.
Mein Internet ist alle, da ich pro Monat nur 25 GB habe, ich bin deshalb off., werde mir Morgen zusätzliches Guthaben buch.

13.03.2013, 23:55

mYthos

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Die entgegengesetzte Richtung von Osten ist sicher NICHT Norden (!)

14.03.2013, 14:35

Tipso

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Es wäre Westen gewesen.

Ich bin jetzt irgendwo noch mehr verwirrt als vorher.

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = - \vec{AB} \end{eqnarray*}$

Ist nicht das Gleiche.

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = \vec{AB} \end{eqnarray*}$

Ist es hier das Gleiche?

Wie sieht es aus bei:

$\begin{eqnarray*} \vec{BA} = \vec{AB} \end{eqnarray*}$

Hier geht es ja auch in die andere Richtung, also:

$\begin{eqnarray*} \vec{AB} = -\vec{AB} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 00:31

mYthos

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Das ist leider alles ein großer Unsinn.
Irgendwie hast du das Wesen eines Vektors noch nicht verstanden.
Dieser ist eine gerichtete Größe und hat - wenn man einen Repräsentanten heranzieht - einen Anfangspunkt und zeigt zu einem Endpunkt.

Es ist ein Unterschied (von der Richtung = Orientierung her), ob du von A nach B gehst oder von B nach A.
Daher kann z.B niemals AB = BA sein und auch nicht AB = -AB

Das Minus bedeutet, dass sich die Orientierung umkehrt.

15.03.2013, 01:41

Tipso

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Orientierung = Richtung?

Demnach müsste - AB = BA sein.

lg
Ps.
Aufgrund Müdigkeit schlafen.
Bin ab Morgen wieder online. Freude

Freude

Wink

15.03.2013, 17:42

Tipso

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Zitat:

Original von Tipso
Orientierung = Richtung?

Demnach müsste - AB = BA sein.

Müsste so hinhauen. smile

smile

15.03.2013, 17:55

Dopap

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schreib bitte mit Vektoren:

$\begin{eqnarray*} -\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

das ist richtig.

Wie berechnet man den Differenz vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$

Wenn die Punkte A und B gegeben sind ?

15.03.2013, 18:04

Tipso

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B - A

ich bin jetzt noch mehr irritiert.

Orientierung = Richtung.

Richtungsvektor

Normalvektor

verwirrt

verwirrt

15.03.2013, 18:26

Dopap

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nicht Alles auf einmal.

nehmen wir an, dass wir die Ortsvektoren zu den Punkten mit kleinen Buchstaben schreiben, dann haben diese dieselben Koordinaten wie die Punkte

also :

$\begin{eqnarray*} A(1,2,3) \rightarrow \vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nochmals: schreib die Sachen korrekt, wie das geht kannst du mittels Zitat anschauen.

soweit klar ?

-----------------------------------------------------

der Differenzvektor : $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a \end{eqnarray*}$

und nun in Koordinaten:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a =... \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 18:49

Tipso

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In der Schule schreiben wir b und a ohne Vektorepfeile darüber.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 18:57

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
In der Schule schreiben wir b und a ohne Vektorepfeile darüber.

das kannst du den Hasen geben! ( sofern Vektoren gemeint sind )

das ist gefährlich weil üblicherweise $\begin{eqnarray*} |\vec a|=a \end{eqnarray*}$ gilt.

Schreib die Pfeile immer drüber !!
------------------------------------------------------

zur Rechnung: ist richtig, in deiner Eingangspost waren A und B aber 3_dimensional verwirrt

verwirrt

15.03.2013, 19:09

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lg

15.03.2013, 19:22

Dopap

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gut!

Du hast nun die Gerade $\begin{eqnarray*} g: \vec x(t) = \vec a +t(\vec b - \vec a ) , t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

das ist eine von vielen möglichen Darstellungen ( siehe oben ) der Geraden in Parameterform.

1.) welcher Punkt gehört zu t=0

2.) welcher Punkt gehört zu t=1

3.) welcher Punkt gehört zu t=0.5

15.03.2013, 19:38

Tipso

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe hier einen Fehler gemacht.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA}= \vec b -\vec a =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \vec a \end{eqnarray*}$

2.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lg

15.03.2013, 20:07

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB}= \vec b -\vec a =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ja, so ist es richtig.

1.) A( 1, 2 , 3 )

2.) B(1 , 0, -1 )

3.) ( 1 , 1 , 1 )

ich hatte nach den Punkten gefragt.

------------------------------------

liegt der Punkt P(1,-125,-250) auf der Geraden g ?

15.03.2013, 20:54

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

1.) (0,0,0)

2.) (0 , -2, -4 )

3.) ( 0 , -1 , -2 )

lg

15.03.2013, 21:07

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

was ist das ?

Antwort auf meine Frage verwirrt

verwirrt

15.03.2013, 21:31

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

ja.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} t(\vec b - \vec a ) \end{eqnarray*}$

t = 0, 1, -1 einsetze, erhalte ich:

1.) (0,0,0)

2.) (0 , -2, -4 )

3.) ( 0 , -1 , -2 )

15.03.2013, 21:58

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

das sind aber keine Punkte auf

$\begin{eqnarray*} g: \vec x(t) = \vec a + \underbrace {t (\vec b- \vec a)}_{\text {das hast du berechnet}} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 22:13

Tipso

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Achso,

$\begin{eqnarray*} g: \vec x(t) = \vec a +t(\vec b - \vec a ) \end{eqnarray*}$

1.) t=0 = (1,2,3)

2.) t=1 = (1,4,7)

3.) t=0.5 = (1,1,1)

15.03.2013, 22:18

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

schön, also gehört zu jedem t ein Punkt der Geraden. Und jetzt umgekehrt:

ist $\begin{eqnarray*} (55,77,88)\in g \end{eqnarray*}$ ?

15.03.2013, 22:29

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt muss ich natürlich genau überlegen was umgekehrt bedeutet.

Interessant ist, dass 2.) kein Vielfaches von 1.) ist.
Da muss doch ein Fehler sein.

Wie überprüfe ich, ob dieses auch auf der Geraden liegt?

$\begin{eqnarray*} g: \vec x(t) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 55 \\ 77 \\ 88 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 23:13

Dopap

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genau so!

Du tust so als ob es ein Geradenpunkt wäre und fragst dann ab ob es stimmen könnte,

d.H. ob es ein $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ gibt, das eingesetzt eine wahre Aussage liefert.

15.03.2013, 23:23

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich löse hier also die Gleichung nicht auf mit t = oder so.

Sondern, ich setze für t Zahlen ein und schaue es dies zu diesem Ergebnis führt?

In diesem Fall ist es nicht möglich da t * 0 = immer 0.

lg

15.03.2013, 23:43

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

haha! du willst doch nicht ewig raten , oder ?

die Vektorgleichung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 55 \\ 77 \\ 88 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann man in 3 Zeilen zerlegen.

jede Zeile hat eine eigene Lösung für t.

Nur wenn alle 3 Lösungen gleich sind gibt es ein $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ als Lösung

16.03.2013, 00:15

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,

Wie heißt dieser Lösungsweg?

1 + t * 0 = 55

2 + t*2 = 77

3 + t*4 = 88

Jetzt forme ich um?
Alle Ergebnisse müssen gleich sein.

lg

16.03.2013, 18:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tipso

Wie heißt dieser Lösungsweg?

Punktprobe Big Laugh

Big Laugh

1 + t * 0 = 55 -----> kein t : jetzt kannst du schon aufhören

2+2t=77 -------> t=37.5

3 + t*4 = 88 ----------> t=21.25

Es wäre auch sehr unwahrscheinlich, wenn ein Zufallspunkt auf der Geraden läge.

Wie schaut es mit Q(1,107,215) aus?

16.03.2013, 19:27

Tipso

Auf diesen Beitrag antworten »

1+t*0 = 1 - richtig

2+ t*2 = 107

3 + t*4 = 215

Hier müsste ich glaube ich eine Gleichung aufstellen:

oder umformen.

Wir sind von der Aufgabenstellung etwas abgekommen.
Zur Erinnerung:

Zitat:

1) A = (1 | 2 | 3); B = (1 | 0 | –1); C = (0 | 0 | 1); D = (0 | 2 | 5)
Geben Sie mehrere verschiedene Darstellungen der Geraden g_1 durch A und B. Welche ist die
naheliegendste, welche ist die „einfachste“?
Geben Sie eine Darstellung der Geraden g_2 durch A und B.
Beurteilen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden.

16.03.2013, 20:04

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

dann stell mal 2 Geradengleichungen auf.

Zur gegenseitigen Lage:

1.) schneiden

edit: es ist nur so: wenn du die Punktprobe nicht kannst, dann auch das Schneiden nicht.

16.03.2013, 20:24

Tipso

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Den Zusammenhang zwischen Punktprobe und schneiden habe ich nicht verstanden.

Wann schneiden sich Geraden den?
Wenn wir es gleichsetzen und ein Ergebnis erhalten.

In R^3?

oder

Frage:
Wann ist ein Pfeil nicht in der Ebene.

Darstellung eines Pfeiles in der Ebene.

--------------------------------------------------

Aufgabenstellung:

Zitat:

dann stell mal 2 Geradengleichungen auf.

Geradengleichung?

y = k*x+d

Zitat:

Geben Sie mehrere verschiedene Darstellungen der Geraden g_1 durch A und B. Welche ist die
naheliegendste, welche ist die „einfachste“?
Geben Sie eine Darstellung der Geraden g_2 durch A und B.

g_2 soll wohl durch C und D gehen.

Naheliegenste - einfachste -- weiß ich leider nicht.

In R^2 wäre es relativ einfach darzustellen, einfach für x und y die Werte einsetzen.
In R^3 wird es mit z etwas schwierig. verwirrt

verwirrt

16.03.2013, 20:33

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ohh Tipso,

jetzt haben wir episch lange schon die Parameterdarstellung von $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$
durch die Punkte A und B diskutiert und aufgestellt und festgestellt, dass es beliebig viele Schreibfiguren gibt, auch Punktproben gemacht.
Und dasselbe nun durch die Punkte C und D für die Gerade $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$

Und plötzlich fängst du wieder im Nirvana an ?

Stell doch erstmal $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ auf bevor du irgendwie diskutierst.

16.03.2013, 20:39

Tipso

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$\begin{eqnarray*} g_2: \vec x(t) = \vec c +t(\vec c - \vec d ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec x(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} +t(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\5\end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2: \vec x(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} +t(\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\-4\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

lg

16.03.2013, 20:49

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso
$\begin{eqnarray*} g_2: \vec x(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\-4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

geht doch !

und $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ war:

$\begin{eqnarray*} \vec x(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun zum Schneiden !

$\begin{eqnarray*} \vec x(t) \end{eqnarray*}$ beschreibt doch jeweils in Abhängigkeit von t einen Geradenpunkt. Und wenn die Geraden sich schneiden sollen = 1 gemeinsamer Punkt, was setzt man dann wohl an ?

16.03.2013, 20:54

Tipso

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Zitat:

Abhängigkeit von t einen Geradenpunkt

Den Punkt, wo die Gerade endet, nehme ich an.

Wir setzen 0 ein?

lg

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