Differentialgleichung 1. Ordnung

13.03.2013, 09:17

matzed2004

Differentialgleichung 1. Ordnung

Meine Frage:
Hallo. Ich habe diese Frage schon einmal gestellt und auch einige Antworten bekommen, von denen ich dachte, dass sie mich weiter gebracht haben. Aber nun stehe ich wieder vor Problemen und komme einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet.
Die Auffüllgeschwindigkeit eines Toilettenspülkastens ist proportional zur Abweichung des Wasserpegels vom Normalniveau
h0 = 30cm : dh/dt=k*(h0-h), k=0,05 cm/s. Berechnen Sie, wie viel Zeit vergeht, bis der anfangs leere Behälter (h=0) sich bis zur Hälfte füllt, so dass er wieder benutzt werden kann. HINWEIS: Lösen Sie zunachst die inhomogene Differentialgleichung und berechnen Sie die Integrationskonstante durch Einsetzen der Anfangsbedingungen.

Meine Ideen:
dh/dt = k*( h0-h ) ---> /(h0-h) ---> *dt

dh/(h0-h) = k*dt ---> integrieren

-ln(h0-h)+C1 = k*t+C2 ---> C1 und C2 zusammenfassen

-ln(h0-h) = k*t+C ---> e^

1/(ho-h) = e^(k*t) * e^C ---> e^C = C

1/(h0-h) = e^(k*t) + C ---> einsetzen der Anfangsbedingungen

1/(30cm - 0cm) = e^(0,05cm/s * 0) + C ---> ausrechenen

1/30 cm = 1 + C ---> -C

C = 1/30cm -1

Irgendwie komme ich mit der Konstante C nicht zurecht. Mich verwirren vor allem die Einheiten. Die 1 hat keine Einheit. Ich kann also nicht 1/30 cm minus 1 rechnen. Die Sache ergibt für mich keinen Sinn. Oder muss ich gar nicht + C sondern * C rechnen?

1/(30cm - 0cm) = e^(0,05cm/s * 0) * C ---> ausrechenen

1/30 cm = 1 * C

C = 1/30cm

....?

Das irritiert mich, da ich in verschiedenen Videos gesehen habe, dass man aus e^(x)*e^C e^(x)+C und dann mal e^(x)* C(x) macht und das dann Variation der konstanten nennt. Ich weiß gerade nicht was ich damit anfangen soll.

Danke für eure Hilfe

13.03.2013, 11:18

zyko

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
Nach der Integration ist die Konstante ein additiver Term.
Nach der Exponentiation e^ wird daraus ein konstanter Faktor.

Zitat:

---> e^C = C

Dies ist formal falsch, besser ---> $\begin{eqnarray*} e^C = C_1 \end{eqnarray*}$
Ersetze jetzt $\begin{eqnarray*} e^C \mbox{ durch } C_1 \end{eqnarray*}$ aber bitte ohne Operatorwechsel von Multiplikation auf Addition.

13.03.2013, 11:44

Ehos

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Die homogene Dgl. lautet $\begin{eqnarray*} \tfrac{\dot h}{h}=-k \end{eqnarray*}$ . Direkte Integration liefert $\begin{eqnarray*} \ln(h)=-k\cdot t+\ln(C) \end{eqnarray*}$ mit der Integrationskonstanten ln(C), was nach Umstellen ergibt $\begin{eqnarray*} h(t)=e^{-k\cdot t+\ln(C)}=C\cdot e^{-k\cdot t} \end{eqnarray*}$ . Wie man durch Einsetzen leicht sieht, ergibt sich die Lösung der inhomogene Dgl. $\begin{eqnarray*} \dot h+kh=h_0k \end{eqnarray*}$ durch Addition des Summanden $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ zur homogenen Lösung. Die inhomogene Lösung lautet also $\begin{eqnarray*} h(t)=e^{-k\cdot t+\ln(C)}=C\cdot e^{-k\cdot t}+h_0 \end{eqnarray*}$ . Um darin die Integrationskonstante C zu bestimmen, setze in dieser Lösung zur Zeit t=0 den Anfangswert h(0)=0 ein. Das führt zur Forderung $\begin{eqnarray*} 0=C+h_0 \end{eqnarray*}$ , woraus man C ablesen und in die Lösung einsetzen kann.

13.03.2013, 11:51

matzed2004

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
dh/dt = k*( h0-h ) ---> /(h0-h) ---> *dt

dh/(h0-h) = k*dt ---> integrieren

-ln(h0-h)+C1 = k*t+C2 ---> C1 und C2 zusammenfassen

-ln(h0-h) = k*t+C ---> e^

1/(ho-h) = e^(k*t) * e^C ---> e^C = C1

1/(ho-h) = e^(k*t) * C1 -----> einsetzen der Anfangsbedingungen

1/(30cm-0cm) = e^(0,05cm/s * 0s) * C1

1/30cm = 1*C1

C1 = 1/30cm

1/(30cm-15cm) = e^(0,05cm/s*t) * 1/30cm --->* 30cm

30cm/15cm = e^(0,05 cm/s*t) ----> vereinfachen

2 = e^(0,05cm/s*t) ----> ln

ln(2) = 0,05cm/s *t -----> umstellen nach t

ln(2)/0,05= t*cm/s

13,86 = t

Aber irgendwie habe ich da die Einheiten wieder verhauen und komme nicht ganz dahinter was ich mit denen anfangen soll, so dass sie etwas sinnvolles ergeben. Ich finde den Fehler einfach nicht

13.03.2013, 12:11

matzed2004

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Kann es sein, dass ich tatsächlich t=13,86*s/cm verwenden muss und sich so die Einheiten herauskürzen?

Damit wäre 13,86 sek für t die richtige Antwort!?

13.03.2013, 12:15

zyko

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
$\begin{eqnarray*} k=0,05cm/s \end{eqnarray*}$ muss falsch sein, weil das Argument der e-Funktion dimensionslos sein muss, also k*t darf keine Einheit [cm] o.Ä. haben.
Ist dein k=0.05[1/s]?
In der DGL steht links ein Ausdruck der Dimension [cm/s], deshalb muss auf der rechten Seite die Dimension ebenfalls [cm/s] sein also die Dimension von k =[1/s].
dh/dt=k*(h0-h)

13.03.2013, 12:24

Ehos

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Dein Fehler ist, dass der Exponent der e-Funktion positiv ist. Er muss negativ sein (Siehe meine Rechnung). Die Lösung lautet

$\begin{eqnarray*} h(t)=h_0\cdot (1-e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

Zu Beginn t=0 kommt wie gewünscht die Höhe h(0)=0 heraus. Erst nach unendlich langer Zeit $\begin{eqnarray*} t \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ ist der Kasten wieder voll mit Wasser, also $\begin{eqnarray*} h(\infty)=h_0 \end{eqnarray*}$ . Darin wird deutlich, dass das mathematische Modell nicht gut genug ist. Es eignet sich nur für kurze Zeiten nach der Spülung.

13.03.2013, 12:30

matzed2004

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
verwirrt

13.03.2013, 13:16

matzed2004

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RE: Differentialgleichung 1. Ordnung
verwirrt

Es handelt sich also um eine inhomogene DGL und ich muss zuerst die homogene DGL lösen? Woran erkenne ich die Störfunktion.
Ich hatte mir schon so etwas gedacht, aber konnte es nicht ausmachen wie ich es angehen soll. Da $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ in der Aufgabenstellung mit einem Wert $\begin{eqnarray*} h_0=30cm \end{eqnarray*}$ gegeben war, ging ich davon aus, dass ich es einfach einsetzen darf. Aber ok. Dann probiere ich es eben noch mal. Mein Ansatz für die homogene DGL sieht so aus.

$\begin{eqnarray*} h^{'}=k*(h_0-h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^{'}=k*h_0-k*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^{'}+k*h=k*h_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^{'}+k*h=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^{'}= -k*h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dh}{dt*h} = -k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{h} \! \frac{dh}{dt*h} \, dt =\int_0^{t} \! -k \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln| h | =-k*t+C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h=e^{-k*t} *C_1 \end{eqnarray*}$

Das ist also die vorläufige Lösung. Die vorläufige Lösung leite ich jetzt noch einmal ab und setze $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h^{'} \end{eqnarray*}$ in die Ausgangsfunktion ein. Danach setzte ich die Anfangswerte $\begin{eqnarray*} h=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ein und erhalte so $\begin{eqnarray*} C_1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie erkenne ich, dass $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ eine Störfunktion ist?

13.03.2013, 14:01

matzed2004

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Zitat:

Original von Ehos
Die inhomogene Lösung lautet also $\begin{eqnarray*} h(t)=e^{-k\cdot t+\ln(C)}=C\cdot e^{-k\cdot t}+h_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nicht, warum jetzt plötzlich das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} kh_0 \end{eqnarray*}$ entfällt.

$\begin{eqnarray*} h'= -k\cdot e^{-k\cdot t}\cdot C_1+e^{-k\cdot t}\cdot C'_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h=e^{-k\cdot t}\cdot C_1 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in $\begin{eqnarray*} h'= k(h_0-h) \end{eqnarray*}$ ergibt

$\begin{eqnarray*} -k\cdot e^{-k\cdot t}\cdot C_1+e^{-k\cdot t}\cdot C'_1=k\cdot h_0-k\cdot e^{-k\cdot t}\cdot C_1 \end{eqnarray*}$

durch kürzen folgt

$\begin{eqnarray*} C \cdot e^{-k\cdot t}=k\cdot h_0 \end{eqnarray*}$

Hast du evtl. nur vergessen das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit hinzuschreiben?

14.03.2013, 09:11

Ehos

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@matzed2004
Du hast recht. Da ist ein Schreibfehler. Es muss richtig heißen: Die inhomoge Lösung lautet

$\begin{eqnarray*} h(t)=e^{-kt+\ln(C)}+h_0=C\cdot e^{-kt}+h_0 \end{eqnarray*}$ .

Im 1.Schritt hatte ich den Summanden ho vergessen.

Du fragst, wie man in der Dgl. $\begin{eqnarray*} \dot h+kh=h_0k \end{eqnarray*}$ erkennt, dass $\begin{eqnarray*} h_0k \end{eqnarray*}$ eine Störfunktion ist. Antwort: Alle Summanden, die nicht die Unbekannte h(t) oder deren Ableitungen enthalten, sind Störfunktionen.
---------------------
Ansonsten verstehe ich eure gesamte Diskussion über das k nicht. In der Aufgabenstellung ist bereits folgender Fehler: Die Dimension von $\begin{eqnarray*} k=0,05 \,cm\,s^{-1} \end{eqnarray*}$ ist unrichtig. Es muss dort heißen $\begin{eqnarray*} k=0,05\,s^{-1} \end{eqnarray*}$ . Damit lautet die Lösung $\begin{eqnarray*} h(t)=h_0\cdot (1-e^{-kt}) \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 13:42

matzed2004

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Ah ja. Ok. Als Anfänger weiß ich leider nicht, dass in er Aufgabenstellung bereits ein Fehler enthalten ist. Es stand jedenfalls so auf in der Übungsklausur.
Aber warum darf $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \frac{cm}{s} \end{eqnarray*}$ sein?
Ist es damit im Exponent nach Einsetzen von $\begin{eqnarray*} {t} \end{eqnarray*}$ (in sek) die Einheit, bzw. Dimension herausgekürzt wird?
Und die zweite Frage lautet, wieso muss ein Exponent Dimensionslos sein.
Bzw. muss er immer Dimensionslos sein oder gilt das nur für die e-Funktion.
Des Weiteren wollte ich mich mal für deine Hilfesbereitschaft bedanken. Es tut mir Leid, wenn ich hier so viel fragen muss.

16.03.2013, 12:51

zyko

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Die Argumente von Funktionen müssen dimensionslos sein.
Andernfalls ergäben sich unterschiedliche Werte je nachdem ob man mit [mm], [cm] oder [m] rechnet. Das gilt auch für Kräfte und Zeiten.
Die einzige (scheinbare) Ausnahme gilt für den Logarithmus.

Z.B. k [1/sec], t [sec]
daraus folgt kt dimensionslos.
Es gilt trotzdem
$\begin{eqnarray*} \log(kt)=\log(k)+\log(t) \end{eqnarray*}$
Angenommen k und t wären nicht in Sekunden sondern in Stunden angegeben. Der Umrechnungsfaktor tritt dann bei kt einmal im Zähler und einmal im Nenner auf und kürzt sich weg. Auf der rechten Seite entsteht der Logarithmus einmal mit "+" und einmal mit "-" und hebt sich deshalb ebenfalls weg.

Generell gilt bei Additionen und Subtraktionen müssen alle beteiligten Terme die gleich Dimension haben; denn man kann Längen und Zeiten nicht addieren.

Bei Multiplikationen dürfen die beteiligten Faktoren beliebige Dimensionen haben. Anhand der Dimensionen kann man oft schnell überprüfen, ob der Ausdruck richtig sein kann.

Da die meisten Funktionen über eine Taylorreihe berechnet werden können, müssen die einzelnen Summanden dimensionslos sein, sonst würde man durch die Potenzierungen nur Unfug aufaddieren.

Durch Betrachtung der möglichen Dimensionskombinationen für ein physikalisches Problem können falsche Formeln schnell erkannt und korrigiert werden:
Einfaches Beispiel. Fallgesetz:
Es kann nur
$\begin{eqnarray*} s=c[1] g[m/sec^2] t^2[ sec^2] \end{eqnarray*}$
sein.
Die Größe von c kann durch eine einzige physikalische Messung ermittelt werden.

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