Komplexes Integral

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gast1231 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexes Integral
Meine Frage:
Folgendes Integral war gegeben:

man soll nun K skizzeren, wobei gilt:

Und das Integral berechnen.

Meine Ideen:
Skizzieren ist ja nur der Einheitskreis.

Beim Berrechnen hab ich durch das Cauchyintegral raus(wobei ist)



Irgendwie stört mich aber die 13, kann das stimmen ?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexes Integral
K ist bei Euklidischer Metrik kein Kreis.
Sei z=x+iy und wir betrachten den ersten Quadranten, dann soll gelten x+y=1, also y=1-x. Analog für die restlichen Quadranten.
gast1231 Auf diesen Beitrag antworten »

War ich wohl etwas vorreilig die Form der Gleichung sah auch recht ähnlich zum Einheiskreis aus, gut dann ist die Skizze ja ein Quadrat um 45° gedreht.

Rechnung müsste aber die selbe bleiben
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexes Integral
Zitat:
Original von gast1231



Bist du sicher, dass über x (dx) und nicht über z (dz) zu integrieren ist?
Beachte, dass eine doppelte Polstelle ist, die innerhalb der Kurve K liegt.
gast1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, da hab ich mich verschrieben es müsste natürlich dz sein.

Und im Anhang hab ich nochmal meinen korrigierten Lösungsweg hochgeladen, hoffe, dass er diesmal stimmt.
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Nach meinen Informationen gilt:

wobei m die Vielfachheit der Polstelle ist.

Wo dein Faktor 1/2 herkommt, weiß ich nicht.
Außerdem gilt

aber

Rechne bitte damit weiter.
 
 
gast1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt hab die Formel falsch angewendet.
Nochmals korrigierter Lösungsweg(wobei immer noch merkwürdiges Ergebnis)
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte das gleiche Ergebnis.
Vielleicht kannst du mir erklären, weshalb du das Ergebnis merkwürdig findest.
gast1231 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, kann man den Residuensatz der Form(P(z)/Q(z)) hier überhaupt so anwenden(gleiches gilt auch fürs Cauchyintegral)???

Ich hab mal gehört, dass Integrale der Form

über (zumindest für -unendlich bis +unendlich) gelöst werden

Also müsste doch gleiches für eine beschränkte Menge K auch gelten oder ?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute das verwechselst du mit dem "Lemma von Jordan".
Wie kann man ein reelles Integral
u. U. berechnen?
Wenn holomorph ist und die Voraussetzungen des "Lemma von Jordan" gelten, dann ist .
Da in den genannten Fällen die geschlossene Kurve z=x längs der reellen x-Achse und betrachtet wird.
Hierin ist das Vorzeichen gemäß der Funktion f(z) zu wählen (+ Halbkreis bei +y; - Halbkreis bei -y). Denn in dem Lemma wird bewiesen, dass das Integral längs des Halbkreisbogens für gegen 0 konvergiert.

Bei deiner Aufgabe liegt allerdings die geschlossene Kurve vollständig im Endlichen und muss nicht weiter ergänzt werden.

Zur Kontrolle habe ich das Integral numerisch längs eines geschlossenen Kreises mit "matlab" berechnet und das genannte Ergebnis erhalten.

Mit
ergibt sich


Diese letzte Integral habe ich mit der matlab-Funktion "quadl" gelöst.
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