Frage zu Quotientenkriterium

13.03.2013, 13:35

Lampenschirm

Frage zu Quotientenkriterium

Ich hätte eine Frage zum Quotientenkriterium. Ich glaube die Antwort ist eigentlich nicht schwer, aber ich sitz jetzt schon ganze Zeit vor der Aufgabe und sehs einfach nicht! Augenzwinkern

Und zwar haben wir folgende Reihe gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2x)^n}{1+x^{2n} } \end{eqnarray*}$

Dann wenden wir das Quotientenkriterium an und erhalten
$\begin{eqnarray*} 2| x | \frac{1+x^{2n} }{1+x^{2n+2} } \end{eqnarray*}$

Soweit versteh ich das auch alles. Nun machen wir aber eine Unterscheidung
a) $\begin{eqnarray*} 2| x | \end{eqnarray*}$ : | x | < 1
b) 2 : | x | = 1
c) $\begin{eqnarray*} \frac{2| x |}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{| x | } \end{eqnarray*}$ : | x | > 1

Fall b) versteh ich, aber wie kommen wir auf die $\begin{eqnarray*} 2 | x | \end{eqnarray*}$ in a) und den Term $\begin{eqnarray*} \frac{2| x |}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{| x | } \end{eqnarray*}$ in c) ?

Wie erkenne ich das aus den oben geposteten "Ergebnis" $\begin{eqnarray*} 2| x | \frac{1+x^{2n} }{1+x^{2n+2} } \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehs einfach nicht wie wir das daraus ableiten. Wäre echt super, wenn mir jemand von euch auf die Sprünge helfen könnte Freude

Ich steh im Moment auf der Leitung.

14.03.2013, 08:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zu Quotientenkriterium
Die eigentliche Frage ist, welchen Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{1+x^{2n} }{1+x^{2n+2} } \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich hat. Und da muß man eben die genannten Fälle unterscheiden. Im Fall c hilft dabei das Kürzen durch $\begin{eqnarray*} x^{2n} \end{eqnarray*}$ . smile

14.03.2013, 13:23

Lampenschirm

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal vielen Dank für die Antwort Freude

Bin mir immer noch nicht ganz sicher ob ichs verstanden habe. Ist das so korrekt:
Fall c)

Da $\begin{eqnarray*} \frac{1+x^{2n} }{1+x^{2n+2} } \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ geht, ist der Grenzwert für diesen Fall $\begin{eqnarray*} \frac{2| x |}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ Ist das korrekt so?

Und woher weiß ich dann aber, dass ich für ein x < 1 nicht durch $\begin{eqnarray*} {x^{2n} } \end{eqnarray*}$ küzen muss? Warum kann ichs bei Fall a) nicht genauso machen wie bei Fall c?
Inwiefern hab ich einen anderen Term wenn x<1 ist als wie wenn x>1 ist? Weil in beiden Fällen habe ich doch den gleichen Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ? Warum macht man es dann bei c mit Kürzen und bei a nicht? Weil bei mir wäre bei beiden der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{2| x |}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe du verstehst meine Frage, weiß nicht so genau wie ich ausdrücken soll was ich meine Augenzwinkern

14.03.2013, 14:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lampenschirm
Und woher weiß ich dann aber, dass ich für ein x < 1 nicht durch $\begin{eqnarray*} {x^{2n} } \end{eqnarray*}$ küzen muss?

Erstmal lautet der Fall |x| < 1. Und dafür nutzt man die weithin bekannte Eigenschaft, daß x^n gegen Null konvergiert. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Lampenschirm
Warum kann ichs bei Fall a) nicht genauso machen wie bei Fall c?

Weil da das Konvergenzverhalten von $\begin{eqnarray*} {x^{2n}} \end{eqnarray*}$ eben anders ist. smile

Neue Frage »

Antworten »

Frage zu Quotientenkriterium

Verwandte Themen