Das charakteristische Polynom

13.03.2013, 14:14

wolfgang-e

Das charakteristische Polynom

Hallo,
ich habe große Probleme bei dieser Aufgabe und wäre dankbar für jede Hilfe.
Ich denke, dass die Aufgabe selbst nicht so schwer wäre, wenn ich den Beweis verstehen würde. Was das charakteristische Polynom ist, ist mir schon klar, sobald aber die Darstellung der Determinante als Permutation ins Spiel kommt, kenne ich mich überhaupt nicht mehr aus.
Bei der Aufgabe (a) ist es mir ein Rätsel, was überhaupt zu zeigen ist und was ich mit der Polynomfunktion g tun soll. Laut Aufgabe hat diese Funktion den Grad kleiner gleich n-2, laut Beweis des Satzes, jedoch kleiner gleich n-1?

14.03.2013, 10:16

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das charakteristische Polynom
Hallo Wolfgang,

Schau Dir doch mal das Polynom $\begin{eqnarray*} f:=(X-A_{11})...(X-A_{nn}) \end{eqnarray*}$ genau an. Das ist ein Polynom vom Grad n und der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} X^n \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ . (Beides gilt auch für $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ .)

Die Aussage der Aufgabe a) ist eigentlich nur, dass bei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch der Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} X^{n-1} \end{eqnarray*}$
mit dem entsprechenden Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ übereinstimmt. Dies trifft nämlich genau dann zu, wenn die Differenz von $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad höchstens $\begin{eqnarray*} n-2 \end{eqnarray*}$ ist.
(Insofern ist die Grundaussage von a) und b) gleich)

Nun wird der Hinweis gegeben, in den Beweis von Satz 23 zu schauen. Dort wird $\begin{eqnarray*} \chi_A \end{eqnarray*}$ als Summe von lauter Polynomen geschrieben, wobei über alle Elemente $\begin{eqnarray*} \sigma\in\Sigma_n \end{eqnarray*}$ summiert wird. Der Summand für $\begin{eqnarray*} \sigma=id \end{eqnarray*}$ wird abgespalten (dies ist gerade unser Polynom $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ) und nun steht dort eine Restsumme da.

Nun wird im Beweis gezeigt, dass der Grad dieser Restsumme höchstens $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ ist. Da für alle $\begin{eqnarray*} \sigma\neq id \end{eqnarray*}$ immer
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)})\leq n-1 \end{eqnarray*}$ ist.
Allerdings gilt sogar:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)})\leq n-2 \end{eqnarray*}$
und das lässt sich mit der Tatsache aus dem Hinweis auch fast genau so zeigen wie im ursprünglichen Beweis.

Gruß
Reksilat

15.03.2013, 14:47

wolfgang-e

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das charakteristische Polynom
Ok, vielen Dank schon mal!
Also nun zur Aufgabe (a):
Zu zeigen wäre ja:
$\begin{eqnarray*} \chi_A =(X-A_{11})...(X-A_{nn})+g \end{eqnarray*}$ wobei
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(g)\leq n-2 \end{eqnarray*}$ ist.
Nun wissen wir aber laut Beweis von Satz 23, dass:
$\begin{eqnarray*} \chi_A =(X-A_{11})...(X-A_{nn})+\sum_{\sigma\neq id, \sigma \in S_n} sign(\sigma)(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)}) \end{eqnarray*}$ .
Außerdem:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\sum_{\sigma\neq id, \sigma \in S_n} sign(\sigma)(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)}))\leq n-1 \end{eqnarray*}$
Dies wird im Beweis damit begründet, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \sigma\neq id \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k \in \{ 1, \cdots ,n \} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} \sigma(k) \neq k \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{k\sigma_(k)}X-A_{k\sigma(k)}))\leq 0 \end{eqnarray*}$ .
Daher folgt:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)})\leq n-1 \end{eqnarray*}$ .
(Hier habe ich zwei Fragen:
Erstens: Warum folgt hier genau $\begin{eqnarray*} {\rm gr}g \leq n-1 \end{eqnarray*}$ ?? Vielleicht weil es in diesem Polynom mindestens ein (?! hier bin ich nicht sicher) k mit obiger Eigenschaft gibt, sodass ein Term 0 ist und somit der Grad um 1 verringert wird?
Zweitens: Warum kann man, so wie es im Beweis steht und wie du es auch geschrieben hast, das große Summenzeichen weglassen, wenn man den Grad anschreibt?

Zur eigentlichen Aufgabe (a):
Wenn meine Begründung bzw. Vermutung stimmt, löst sich diese Aufgabe mit dem Beweis von Satz 23 doch von selbst, oder etwa nicht?
Wir benutzen die Tatsache, dass es nicht nur ein solches k gibt, sondern sogar 2 davon. Somit gilt auch:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{1\sigma_(1)}X-A_{1\sigma(1)})...(\delta_{n\sigma_(n)}X-A_{n\sigma(n)})\leq n-2 \end{eqnarray*}$
Oder könnte man das noch etwas besser begründen bzw. ausformulieren?

Zur Aufgabe (b):
Laut Aufgabe (a) wissen wir jetzt ja, dass
$\begin{eqnarray*} \chi_A =(X-A_{11})...(X-A_{nn})+g \end{eqnarray*}$ wobei
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(g)\leq n-2 \end{eqnarray*}$ ist.
Um den Koeffizient vor $\begin{eqnarray*} X^{n-1} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, genügt es
$\begin{eqnarray*} (X-A_{11})...(X-A_{nn}) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, da $\begin{eqnarray*} {\rm gr}(g)\leq n-2 \end{eqnarray*}$ .
Nun ist es für mich klar (erkennt man leicht, wenn man es für kleine n selbst nachrechnen würde), dass der Koeffizient die Form $\begin{eqnarray*} -(A_{11}+...+A_{nn}) \end{eqnarray*}$ haben muss.
Aber auch diesmal glaube ich, dass man dies vermutlich noch schöner begründen bzw. anschreiben kann, aber ich wüsste nicht wie. Gibt es einen Satz, wie man einen bestimmten Koeffizienten ausrechenen kann??

Aufgabe (c):
Hier bräuchte ich noch deine Hilfe. Ich verstehe nicht wie hier Satz 25 weiterhelfen sollte.

15.03.2013, 19:27

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das charakteristische Polynom

Zitat:

Erstens: Warum folgt hier genau $\begin{eqnarray*} {\rm gr}g \leq n-1 \end{eqnarray*}$ ?? Vielleicht weil es in diesem Polynom mindestens ein (?! hier bin ich nicht sicher) k mit obiger Eigenschaft gibt, sodass ein Term 0 ist und somit der Grad um 1 verringert wird?

Der Term wird ja nicht 0, sondern nur der Grad des entsprechenden Faktors. In unserem Fall ist $\begin{eqnarray*} \sigma(k)\neq k \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \delta_{k\sigma(k)}=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} {\rm gr}(\delta_{k\sigma_(k)}X-A_{k\sigma(k)})={\rm gr}(A_{k\sigma(k)})=0 \end{eqnarray*}$ .
Nun nutzt Du aus, dass für nichttriviale ( $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ ) Polynome $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \end{eqnarray*}$ stets gilt:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(f_1\cdot ...\cdot f_n)={\rm gr}(f_1)+...+{\rm gr}(f_n) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zweitens: Warum kann man, so wie es im Beweis steht und wie du es auch geschrieben hast, das große Summenzeichen weglassen, wenn man den Grad anschreibt?

Für Polynome $\begin{eqnarray*} f_1,...,f_n \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} {\rm gr}(f_1+ ...+ f_n)\leq\max\{{\rm gr}(f_1),...,{\rm gr}(f_n)\} \end{eqnarray*}$

Zu a):
Deine Begründung ist richtig. Viel mehr steckt wirklich nicht dahinter.

Zu b):
Letztlich willst Du den Koeffizienten vor $\begin{eqnarray*} X^{m-1} \end{eqnarray*}$ eines Polynoms der Form $\begin{eqnarray*} (X-B_1)...(X-B_m) \end{eqnarray*}$ bestimmen. Eigentlich ist das Ergebnis auch klar, aber die Begründung ist eben schwer und bevor Du "erkennt man leicht, wenn man es für kleine n selbst nachrechnet" schreibst, nutze lieber Induktion. Augenzwinkern

Zu c):
Ich würde mich nicht so sehr auf den Hinweis versteifen. Letztlich geht es darum, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P^{-1}AP \end{eqnarray*}$ das gleiche charakteristische Polynom haben. Dann kann man Aufgabe b) anwenden.

Gruß
Reksilat

15.03.2013, 22:16

wolfgang-e

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das charakteristische Polynom
Danke nochmals!

Aufgabe (a) ist jetz klar denke ich.

Zur Aufgabe (b): Wie würde denn deine "schwierige Begründung" ausschauen? Weil ich glaube, dass ich es doch schön beweisen sollte und nicht "nur" über Induktion.

Aufgabe (c).
Ohne Benützung des charakteristischen Polynoms findet man den Beweis ganz leicht auf Wikipedia.
Aber wie meinst du das, dass ich es auch mittels (b) zeigen kann?

Lg Wolfi

16.03.2013, 14:07

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Das charakteristische Polynom
Bei b) meinte ich nur, dass es schwierig ist, die Begründung sauber aufzuschreiben. Induktion scheint da etwas übertrieben, ist aber meiner Meinung nach sinnvoll, da dann alles unproblematisch und sauber begründet werden kann.

Zu c):
Habe ich doch schon geschrieben. Zeige, dass die beiden Matrizen das gleiche char. Polynom haben und verwende b), denn dort wird die Verbindung zwischen char. Polynom und Spur einer Matrix hergestellt.

Neue Frage »

Antworten »

Das charakteristische Polynom

Verwandte Themen