Partielle Ableitungen mit e, Wurzel, ln

13.03.2013, 19:58

Mister Neuhier

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Partielle Ableitungen mit e, Wurzel, ln

Meine Frage:
Hallo, ich befasse mich Momentan mit partiellen Ableitungen. Solange nur "normale" Zahlen mit x oder y vorkommen, ist das alles gar kein Problem, aber wenn ln, e oder Wurzeln in einer Funktion gegeben sind, habe ich sehr große Schwierigkeiten. Hier drei Beispiele:

f(x;y)=ln3^xy
f(x;y=e^lnxy
f(x;y)=lne^xy

Meine Ideen:
Was meine Ansätze angeht, sieht es so aus, dass ich nicht wirklich vorankomme, weil mir das eigentliche Verständnis fehlt. Ich denke, dass man die Kettenregel anwenden sollte. Daher würde ich die äußere Ableitung mit der inneren Ableitung multiplizieren. Jetzt kommt aber das Problem. Ich kann nicht wirklich erkennen, was jeweils u und was v in einer Funktion ist.

Also bei der ersten Funktion denke ich, dass u' = 1/3 ist. Zimindest weiß ich aus der Formelsammlung, dass die Ableitung aus ln(x) = 1/(x) ist. Aber dann gibt es ja noch die Potenz. Wobei ich es aber auch für möglich halte die Potenz nach vorne zu bringen. xy*ln3. So würde das dann aussehen, jedoch bin ich mir auch hier nicht sicher. Na ja, leider fehlt mir ein Ansatz, bei dem ich weiß, dass ich auf dem richtigen Weg bin. Ich wäre sehr dankbar darüber, wenn jemand mir die Vorgehensweise erklärt, so dass ich ein besseres Verständnis für diese komplexeren Funktionen bekomme.

13.03.2013, 20:36

Admiral

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Machst du dir die Mühe und schreibst die Funktionen in Latex? Du meinst wahrscheinlich andere, als die angegebenen, bitte auch af Klammersetzung achten.
Ansonsten: leitest du partiell nach x ab, so ist y als konstant und nicht variabel zu behandeln (stell dir vor, es stünde ine Zahl statt y, wenn dir das hilft) und leitest wie in der Schule ab .

13.03.2013, 20:37

Kasen75

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Hallo,

sieht die erste Funktion so aus $\begin{eqnarray*} f(x;y)=ln(3^{xy}) \end{eqnarray*}$

Dann kannst du sie auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} xy \cdot ln(3) \end{eqnarray*}$

Das würde die Ableitung vereinfachen.

Grüße.

14.03.2013, 13:58

Mister Neuhier

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Zitat:

Original von Admiral
Machst du dir die Mühe und schreibst die Funktionen in Latex? Du meinst wahrscheinlich andere, als die angegebenen, bitte auch af Klammersetzung achten.
Ansonsten: leitest du partiell nach x ab, so ist y als konstant und nicht variabel zu behandeln (stell dir vor, es stünde ine Zahl statt y, wenn dir das hilft) und leitest wie in der Schule ab .

Danke für die Antwort. Sorry, ich weiß nicht, wie ich die Funktion in Latex schreibe. Aber ich denke, dass man auch so gut erkennen kann, wie sie aussieht. Wären in der Funktion Klammern enthalten, hätte ich sie berücksichtigt. Tatsächlich gibt es aber keine. Wie man partiell ableitet, weiß ich bereits. Nur gibt es ja besondere Regeln, die man bei solchen Funktionen mit e, ln und Wurzeln beachten muss.

Zu Kasen75:

Danke auch dir. Könnte man xy auch nach vorne setzen, wenn 3^xy nicht in Klammern steht? Ich denke schon, oder? Generell kann man sich also merken, dass die Potenzen immer nach vorne gebracht werden. Jetzt würde man mit der Produktregel weitermachen, nehme ich an. Die sieht so aus:
u' * v + u * v'

So, ich leite mal xy * ln3 nach x ab:

1y * ln3 + xy * 1/3

Und jetzt nach y:

1x * ln3 + xy * 1/3

Ok, so hätte ich mir das gedacht, aber in der Lösung steht, dass das Ergebnis so aussieht:

nach x: y * ln3

nach y: x * ln3

Kann mir jemand erklären, wie man auf diese Lösung kommt und vor allem warum das so ist?

Danke im Voraus

14.03.2013, 14:18

Kasen75

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Zitat:

Könnte man xy auch nach vorne setzen, wenn 3^xy nicht in Klammern steht ?

Wäre gut, wenn du das mal aufschreibst. Mit den entsprechenden Klammern.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} xy * ln3 \end{eqnarray*}$

Wenn du diesen Ausdruck nach x ableiten willst, dann brauchst du keine Produktregel. Du leitest ja nur nach x ab. Vielleicht wird es klarer, wenn ich jetzt mal eine Klammer hinzufüge. Sie hat keine Auswirkungen auf den Term:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \cdot ln(3)=\bigg( y \cdot ln(3)\bigg) \cdot x \end{eqnarray*}$

Jetzt nach x ableiten.

Du solltest schon die Klammern richtig setzen. Allein bei der LN-Funktion gehört eine Klammer hin.

14.03.2013, 19:45

Mister Neuhier

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Danke für die Antwort. Wie gesagt, steht in der Aufgabe KEINE Klammer. Wenn es eine gäbe, hätte ich sie auch hingeschrieben, keine Sorge Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habe mal eine ähnliche Aufgabe gesehen. Da wurde auch die Produktregel genutzt und aus Ln3 wurde 0
Ist es immer so, dass ln mit einer Zahl abgeleitet 0 ergibt? Ich hätte gedacht, dass aus ln3 1/3 wird, weil in der Formelsammlung steht, dass lnx = 1/x abgeleitet ist.

Na ja, wenn ich die Produktregel anwende und somit nach x ableite, komme ich aber auf das richtige Ergebnis.

u' * v + u * v'

y * ln3 + xy * 0 => y * ln3

Das könnte also tatsächlich die korrekte Vorgehensweise sein.

Aber wie sieht es mit den anderen Beispielaufgaben aus?

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14.03.2013, 20:29

Kasen75

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Ich habe mal eine ähnliche Aufgabe gesehen. Da wurde auch die Produktregel genutzt und aus Ln3 wurde 0
Ist es immer so, dass ln mit einer Zahl abgeleitet 0 ergibt?

Ja, weil ln(Zahl) selber eine Zahl ist. Jede Konstante (Zahl) die abgeleitet wird, ergibt Null.

Sieht die Funktion so $\begin{eqnarray*} f(x;y)=e^{ln(xy)} \end{eqnarray*}$ aus?

14.03.2013, 21:15

Mister Neuhier

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Ok, danke für die Hilfe. Es ist schon einmal sehr gut zu wissen, dass Ln(Zahl) immer zu 0 wird, wenn man ableitet.

Die nächste Funktion sieht so aus, wie du sie geschrieben hast, bloß ohne Klammern, aber ich denke, für das Ergebnis spielt das keine Rolle.
Ich würde sagen, hier braucht man die Kettenregel, also innere * äußere Ableitung.
Die äußere bleibt wahrscheinlich, wie sie ist. Das wäre e^lnxy
Die innere also lnxy leitet man nach x und y ab

Dazu würde ich jetzt xy vor das ln holen => xy * ln
Jetzt hat man u * v
Ich leite nach x ab:

u = xy
u' = y
v = ln
v' = 0

u' * v + u * v'

y * ln ist also die innere Ableitung

Das Ergebnis müsste also y * ln * e^lnxy sein, aber leider stimmt das mit dem Lösungsblatt nicht überein. Was habe ich bei der Berechnung falsch gemacht?

14.03.2013, 21:36

Kasen75

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Eine LN-Funktion hat immer klammern. Ich hoffe nicht, dass es so, wie von dir angegeben worden ist, auf dem Aufgabenblatt steht.

Du kannst hier wiederum vereinfachen. Das ist wohl der Sinn der Aufgaben.

Tippe mal folgendes in den Taschenrechner ein: $\begin{eqnarray*} e^{ln(13)} \end{eqnarray*}$

Und ziehe dann aus dem Ergebnis den Schluss daraus, wie du den Term $\begin{eqnarray*} e^{ln(xy)} \end{eqnarray*}$ vereinfachen kannst.

Danach wird das Ableiten ganz leicht.

14.03.2013, 22:00

Mister Neuhier

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Auf dem Aufgabenblatt stehen wirklich nie Klammern in den Ln-Funktionen, aber ich glaube dir, dass da eigentlich welche hingehören.
Einen Taschenrechner darf man in der Klausur nicht nutzen, man muss alles im Kopf berechnen.
Ich werde mal weiter versuchen, diese Aufgabe zu lösen, aber eine andere Idee, als die von mir genannte, habe ich leider nicht wirklich.

14.03.2013, 22:03

Kasen75

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Du sollst die Aufgabe auch nicht mit dem Taschenrechner rechnen. Sondern aus der Eingabe in den Taschenrechner eine Schlussfolgerung ziehen.

Was kam bzw. kommt denn bei dir raus?

Es wird dann ganz einfach. Versprochen.

15.03.2013, 10:36

Mister Neuhier

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Ich weiß leider nicht, wie man diese Funktion korrekt in den Taschenrechner eingibt, da ich das in der Schule nie gebraucht habe, aber im Internet habe ich einen "Taschenrechner" gefunden mit dem ich das Ergebnis ausrechnen konnte. Das Ergebnis von e^ln(13) ist demnach 13.

Wenn man die Funktion e^ln(xy) nach x ableitet sollte das Ergebnis folgendes sein:

e^ln(xy) * 1/x
Zusammengesfasst ergibt das also y

Nun habe ich zwei Fragen:

Wie erkenne ich, dass e^ln(xy) mit 1/x multipliziert y ergibt und wie komme ich auf 1/x?

Hier spielt ja die Kettenregel eine Rolle, aber wie wird aus der inneren Funktion lnxy 1/x?
Muss man nicht xy vor dem ln holen?
Man hat ja bei dem Beispiel mit ln(13) gesehen, dass ln einfach wegfällt. Man könnte also hier scheinbar aus vor dem Ableiten nur xy stehenlassen.

nach x abgeleitet käme dann y raus und nach y somit x

Das wäre die Lösung und ich glaube, darauf wolltest du hinaus smile

smile

Danke, das hilft mir schon einmal weiter, wenn ich weiß, dass ich nur das xy betrachten muss. Das erleichtert die ganze Sache, aber nur wegen der Vollständigkeit würde ich noch gerne wissen, wie man denn auf dem anderen Weg auf 1/x kommt.

Wäre noch sehr nett, wenn du mir das sagen könntest.

15.03.2013, 14:19

Kasen75

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} e^{ln(xy)} * 1/x \end{eqnarray*}$
Zusammengesfasst ergibt das also y

Das Ergebnis ist richtig. Freude

Freude

Nur du musst nicht durch x teilen. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \end{eqnarray*}$ nach x ist y, da das x durch die Ableitung wegfällt.

Zitat:

Wie erkenne ich, dass $\begin{eqnarray*} e^{ln(xy)} \end{eqnarray*}$ mit 1/x multipliziert y ergibt...

Eben durch die Vereinfachung: Es gilt: $\begin{eqnarray*} z=e^{ln(z)} \end{eqnarray*}$

Oder in deinem Fall: $\begin{eqnarray*} e^{ln(xy)}=xy \end{eqnarray*}$ .Das hast du ja schon rausbekommen. Wenn du den Ausdruck auf der rechten Seite nach x ableitest kommt y heraus.

Zitat:

Hier spielt ja die Kettenregel eine Rolle, aber wie wird aus der inneren Funktion lnxy 1/x?
Muss man nicht xy vor dem ln holen?

Ohne Vereinfachung spielt hier in der Tat die Kettenregel eine Rolle. Deine Funktion sieht so allgemein so aus (Ableitung nach x):

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{g(h(x))} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} h(x)=xy \end{eqnarray*}$

Ableitung nach x: $\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=\underbrace{g(h(x))' \cdot h(x)'}_{\text{Kettenregel für den Exponenten}} \cdot e^{g(h(x))} \end{eqnarray*}$

konkret: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{ln(xy)} \end{eqnarray*}$

Wie sieht jetzt die Abeitung nach x aus?

15.03.2013, 17:10

Mister Neuhier

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Danke für die Erklärung.

h(x) kannich ganz leicht nach x ableiten. Das wäre y, wie wir schon gesehen haben.

Wie ist das aber mit g(h(x))? Das ist ja Lnxy,
Ist das abgeleitet nach x => 1/x?

Auf jeden Fall ist das ein komplizierterer Weg. Ich merke mir, dass wenn e^ln(x) steht, ich nur die Zahlen hinter Ln beachte und den Rest wegfallen lasse. Das ist deutlich angenehmer.

15.03.2013, 17:41

Kasen75

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Bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(xy) \end{eqnarray*}$ musst du die Kettenregel anwenden. Die innere Ableitung hast du ja schon. Die ist y. Freude

Freude

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} ln(z) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z} \end{eqnarray*}$ , wobei bei dir $\begin{eqnarray*} z=xy \end{eqnarray*}$ ist. Das wäre dann die äußere Ableitung. Einfach für z den Ausdruck xy einsetzen.

Wenn du jetzt das Produkt aus äußerer Ableitung und innerer Ableitung des Exponenten , $\begin{eqnarray*} ln(x \cdot y) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} e^{ln(xy)} \end{eqnarray*}$ multiplizierst, dann bekommst du als ganzes y, für die partielle Ableitung von f(x,y) nach x heraus.
Nicht zu verwechseln mit dem Ergebnis aus der inneren Ableitung.

Es ist in der Tat einfacher gleich am Anfang den Term zu vereinfachen.

16.03.2013, 10:48

Mister Neuhier

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Jetzt habe ich auch verstanden, wie man hier die Kettenregel korrekt anwendet. Vorher hatte ich einen kleinen Denkfehler, was die äußere Ableitung angeht.
Ich danke dir sehr für deine Mühe und die hilfreichen Beiträge. Das ist sehr nett!
Ich werde mich noch mit einigen ähnlichen Aufgaben befassen, um sicherer zu werden. Aber es geht schon besser als vor ein paar Tagen smile

smile

16.03.2013, 12:06

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass vieles klarer geworden ist. smile

smile

Als Fazit würde ich festhalten: Am Anfang soweit wie möglich vereinfachen. Dann die Differentiationsregeln anwenden.

Grüße.

17.03.2013, 18:39

Mister Neuhier

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Ich habe noch eine Aufgabe gefunden, bei der es nicht so leicht ist, auf das Ergebnis zu kommen.

x^ln5 * ln5^x

Hier muss man wieder ableiten und ich bin mir sicher, dass man die Produktregel anwenden muss, aber ich weiß nicht, wie ich mit u und v umgehen soll.

Hast du hierfür vielleicht einen Ansatz?

Danke im Voraus.

17.03.2013, 19:03

Kasen75

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Da habe ich keine wirkliche Idee.

Es ist aber für mich nicht wirklich klar was du mit dem zweiten Faktor meinst.

$\begin{eqnarray*} ln(5^x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (ln(5))^x \end{eqnarray*}$ ?

Zu beiden Varianten ist mir nichts Gutes eingefallen.

18.03.2013, 01:14

Mister Neuhier

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Ja, das ist schon schwieriger als die Aufgaben davor. Da finde ich auch keinen richtigen Ansatz. In der Aufgabe stehen keine Klammern, aber würde sagen, die erste Variante trifft zu.

Trotzdem danke. Ich werde weiter nachforschen und falls ich einen Ansatz finde, schreibe ich ihn hier rein.
Es macht keinen Unterschied, ob Log oder ln in so einer Aufgabe steht, oder? Die Vorgehensweise ist die gleiche beim Ableiten, wenn ich mich nicht täusche.

18.03.2013, 02:02

Kasen75

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Die einzige Vereinfachung, die mir zur ersten Variante einfällt ist:

$\begin{eqnarray*} ln(5^x)=x\cdot ln(5) \end{eqnarray*}$

Das könnte weiterhelfen. smile

smile

$\begin{eqnarray*} x^{(ln5)} \end{eqnarray*}$ ist einfach x mit der "einfachen" Zahl als Potenz. Die leitet man wie sonst auch ab:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^a \Rightarrow f'(x)=a \cdot x^{a-1} \end{eqnarray*}$

Prinzipiell gibt es schon einen Unterschied beim ableiten von $\begin{eqnarray*} log_{10}(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Wenn aber mit $\begin{eqnarray*} log(x) \end{eqnarray*}$ das gleiche gemeint ist wie $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ , dann macht es natürlich keinen Unterschied. Es wird teilweise $\begin{eqnarray*} log(x) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} ln(x) \end{eqnarray*}$ geschrieben.

Bei den Ableitungen könnte dir diese Tabelle helfen: hier

Mach aber bitte ein neues Thema auf für eine neue Aufgabe oder Frage. Das hat für dich nur Vorteile.

Ich wünsche Dir eine gute Nacht.

Grüße.

18.03.2013, 10:57

Mister Neuhier

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Danke für die Antwort. Die Tabelle sieht auch sehr hilftreich aus. Ich habe mich an die Aufgabe versucht und dazu die Produktregel genutzt.
u' * v + u * v'

Aus x^ln5 wird ln5 * x^ln5 - 1 => u'

Und aus ln5^x wird x* ln5 => v'

Also ergibt sich: ln5 * x^ln5 - 1 * ln5^x + x^ln5 * x* ln5

Das richtige Ergebnis sieht aber so aus:

x^ln5 * ln5 *(ln5+1)

Kann es sein, dass ich bei x* ln5 noch einmal die Produktregel anwenden muss? Aber auch das würde nicht zum Ergebnis führen. Hmm diese Aufgabe ist gar nicht so leicht, finde ich.

Grüße

18.03.2013, 11:45

Che Netzer

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Die Produktregel ist unnötig:
$\begin{eqnarray*} x^{\ln5}\ln(5^x)=x^{1+\ln5}\cdot\ln5\,. \end{eqnarray*}$

18.03.2013, 16:08

Mister Neuhier

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Warum ist die Produktregel unnötig? Ich würde sie doppelt anwenden. Einmal um ln5^x abzuleiten. Man holt das x nach vorne, so dass sich x * ln5 ergibt. Jetzt nutzt man die Produktregel und bekommt als Ableitung ln5 raus.

Nun würde ich noch einmal die Produktregel anwenden, da ich jetzt die Ableitung von ln5^x kenne und schon vorher ermittelt habe, dass x^ln5 = ln5 * x^ln5-1 ist.

Wende ich die Produktregel an, komme ich auf:

ln5 * x^ln5-1 * ln5^x + x^ln5 * ln5

Ich weiß leider nicht, wie man das Ganze zusammenfassen kann. Aber würde es denn die Lösung ergeben? Oder liege ich ganz falsch?

Dann habe ich noch eine andere Frage, bei der es um eine Gleichung geht. Da muss man nichts ableiten.
7^x^2-3x-4 = 1

Ich muss auf eine gemeinsame Basis kommen, damit man nur den Exponenten betrachten kann. Ich habe mir gedacht, dass ich beides mit log7 multiplizieren könnte.

So ergibt sich: log7^x^2-3x-4^= log7

Jetzt könnte man log7 wegfallen lassen und die Gleichung ganz einfach auflösen, aber geht das auch so oder kann man gar nicht so vorgehen, um die gleiche Basis zu finden?

18.03.2013, 17:38

Che Netzer

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Zunächst einmal: Benutze bitte $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ /den Formeleditor oder setze Klammern um deine Exponenten.

Wieso du $\begin{eqnarray*} x\cdot\ln5 \end{eqnarray*}$ mit der Produktregel ableiten möchtest, ist mir völlig unklar.
Das ist einfach ein linearer Term in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wie würdest du denn $\begin{eqnarray*} ax \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten, wenn $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

Und eine Darstellung, mit der du auf die Produktregel gänzlich verzichten kannst, habe ich dir schon angegeben.

Für neue Fragen eröffnest du am besten einen neuen Thread.
Mir kommt es auch so vor, als wärst du im Hochschulbereich falsch – wenn das also Aufgaben aus der Schule sind, sollten sie auch im Schulbereich gestellt werden.

18.03.2013, 19:33

Mister Neuhier

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Da es um Aufgaben geht, mit denen ich mich im Studium befassen muss, bin ich im Hochschulbereich richtig, wie ich denke. Ich würde die Produktregel anwenden, da ich mir sicher bin, dass das der richtige Weg ist. Bei diesen Übungsaufgaben muss man nämlich immer mit der Kettenregel, Quotienten- oder Produktregel arbeiten, um abzuleiten.
Dein Ergebnis stimmte nicht ganz mit der Lösung überein, weswegen ich noch einmal meine Vorgehensweise gezeigt habe. Nur weiß ich nicht, wie ich meine Lösung zusammenfasse. Vielleicht wäre das nämlich das richtige Ergebnis. Auf diese Frage bist du leider nicht eingegangen.

18.03.2013, 20:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von Mister Neuhier
Da es um Aufgaben geht, mit denen ich mich im Studium befassen muss, bin ich im Hochschulbereich richtig, wie ich denke.

Ja, dann bist du hier doch richtig.
Wobei du bei solchen Aufgaben aber auch gerne den Schulbereich nutzen kannst, wenn du etwas mehr Erklärungen möchtest.

Zitat:

Ich würde die Produktregel anwenden, da ich mir sicher bin, dass das der richtige Weg ist.

Die kann man zwar anwenden, die Faktor- und die Potenzregel, d.h. $\begin{eqnarray*} (ax^b)'=abx^{b-1} \end{eqnarray*}$ , genügen hier aber völlig.

Zitat:

Dein Ergebnis stimmte nicht ganz mit der Lösung überein, weswegen ich noch einmal meine Vorgehensweise gezeigt habe.

Ich habe dir keine Ableitung aufgeschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Nur weiß ich nicht, wie ich meine Lösung zusammenfasse. Vielleicht wäre das nämlich das richtige Ergebnis. Auf diese Frage bist du leider nicht eingegangen.

Die ist zwar richtig, aber erstens könntest du dazu auch den Formeleditor verwenden (so liest man es lieber) und zweitens wären die Schritte, mit der du die Lösung vereinfachen kannst, genau die, mit denen du dir die ganze Sache von Anfang an vereinfachen kannst.
Versuche also lieber, meinen Vorschlag
$\begin{eqnarray*} x^{\ln5}\ln(5^x)=x^{1+\ln5}\cdot\ln5 \end{eqnarray*}$
nachzuvollziehen.

19.03.2013, 13:26

Mister Neuhier

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Danke für die Antwort. Kannst du mir noch erklären, wie du darauf gekommen bist, die Funktion so zu vereinfachen und warum man dabei das hoch x bei ln5 wegfallen lassen kann? Das sehe ich zum ersten Mal und verstehe es daher nicht ganz. Wie leitet man denn [latex]=x^{1+\ln5} ab? Ich kann mir gut vorstellen, dass man erst vereinfachen muss und dann ableitet, aber hier bin ich ratlos.

Danke im Voraus.

19.03.2013, 13:30

Che Netzer

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Ich sagte doch, du sollst (selbst) versuche, die Umformung nachzuvollziehen.

Du brauchst dafür ein Logarithmen- und ein Potenzgesetz.

Und zum Ableiten von $\begin{eqnarray*} x^{\ln 5+1}\ln5 \end{eqnarray*}$ brauchst du nur die Faktorregel (konstante Faktoren bleiben erhalten) und die Potenzregel.

Einen Schritt der Vereinfachung hat dir Kasen auch schon gezeigt.

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