Differenzierbarkeit und Stetigkeit

13.03.2013, 22:04

Stefan03

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Hi,

ich würde gerne wissen, ob meine Antworten für die Aufgaben (siehe Anhang) richtig sind.

a) Nein, da nicht jede diffbare Fkt. auch unbedingt stetig diffbar ist, z.B $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist diffbar, aber nicht stetig diffbar.
Gibts hier "einfachere" Beispiele?
b)Hier bin ich mir irgendwie nicht sicher...Es macht mir die Einschränkung des Def-Bereichs auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ Schwierigkeiten, ein Gegenbsp. zu finden...Weil z.B $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist diffbar mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ und das ist ja nicht beschränkt, wenn man die Fkt. jeweils auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert...Etwas "unbeschränktes" bekomme ich auch bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , aber das ist ja für 0 garnicht definiert...

c)Ja, Zwischenwertsatz
d) Nein, weil das die Umkehrung vom ZWS ist und die bekanntlich nicht gilt. Gegenbsp?!?

e) ja, Hauptsatz der Differantial- und Integralrechnung
f) ja, ist ja das gleiche wie e), oder?

14.03.2013, 22:45

Che Netzer

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Zitat:

Original von Stefan03
a) Nein, da nicht jede diffbare Fkt. auch unbedingt stetig diffbar ist, z.B $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist diffbar, aber nicht stetig diffbar.
Gibts hier "einfachere" Beispiele?

Kaum.

Zitat:

b)Hier bin ich mir irgendwie nicht sicher...Es macht mir die Einschränkung des Def-Bereichs auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ Schwierigkeiten, ein Gegenbsp. zu finden...Weil z.B $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ ist diffbar mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ und das ist ja nicht beschränkt, wenn man die Fkt. jeweils auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert...Etwas "unbeschränktes" bekomme ich auch bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , aber das ist ja für 0 garnicht definiert...

Benutze eine kleine Abwandlung des Gegenbeispiels zu a).

Zitat:

c)Ja, Zwischenwertsatz

Na das war ja schwierig...

Zitat:

d) Nein, weil das die Umkehrung vom ZWS ist und die bekanntlich nicht gilt. Gegenbsp?!?

Da brauchst du auf jeden Fall ein Gegenbeispiel.
"Kleiner" Tipp: Diese Aussage des Zwischenwertsatzes gilt zwar für stetige Funktionen, aber auch für jede Ableitung.

Zitat:

e) ja, Hauptsatz der Differantial- und Integralrechnung

Ja.

Zitat:

f) ja, ist ja das gleiche wie e), oder?

Nicht direkt. Die Identität hat auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwar auch eine Stammfunktion, ist aber nicht integrierbar.

15.03.2013, 12:47

Stefan03

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Hi,

danke für die Hinweise...

Noch eine Frage zur a) Da habe ich ja auch das Problem, dass meine Fkt. für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ garnicht definiert ist...Oder kann ich sie mir "selbst" so definieren, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist?!?

zu b) fällt mir nichts brauchbares ein...

d) Da brauch ich wohl irgendeine Fkt, die eine Sprungstelle hat. Bekomme ich das irgendwie ohne abschnittsweiser Definiton von f hin?

f) Ähm, ist hier das Problem, dass z.B. der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to \infty} \int\limits_{0}^{t}x dx \end{eqnarray*}$ exisieren muss, um integrierbar zu sein?!? Dies wäre die "anschauliche" Def. mittels Flächeninhalt. Aber da ja f auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ definiert ist und stetig ist, sollte das doch kein Problem sein?!?

Eigentlich heißt ja integrierbar nur, dass Ober- und Untersumme gleich sein müssen. Warum sollte das bei der Identität $\begin{eqnarray*} x \to x \end{eqnarray*}$ nicht der Fall sein?!?

15.03.2013, 12:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Stefan03
Noch eine Frage zur a) Da habe ich ja auch das Problem, dass meine Fkt. für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ garnicht definiert ist...Oder kann ich sie mir "selbst" so definieren, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist?!?

Da nimmt man üblicherweise die stetige Fortsetzung, das ist meist klar, aber zur Sicherheit solltest du es nochmal hinschreiben.

Zitat:

zu b) fällt mir nichts brauchbares ein...

Dann füge in der Funktion aus a) mal an der richtigen Stelle ein Quadrat ein.

Zitat:

d) Da brauch ich wohl irgendeine Fkt, die eine Sprungstelle hat. Bekomme ich das irgendwie ohne abschnittsweiser Definiton von f hin?

Sprungstellen dürfen nicht auftreten.
Ansonsten kannst du wie gesagt eine beliebige unstetige Ableitung verwenden.

Zitat:

f) Ähm, ist hier das Problem, dass z.B. der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to \infty} \int\limits_{0}^{t}x dx \end{eqnarray*}$ exisieren muss, um integrierbar zu sein?!? Dies wäre die "anschauliche" Def. mittels Flächeninhalt. Aber da ja f auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ definiert ist und stetig ist, sollte das doch kein Problem sein?!?

Ich kenne Integrierbarkeit so, dass das Integral auch endlich sein muss.
Aber ja, hier kannst du $\begin{eqnarray*} \int_0^1f(x)\dx \end{eqnarray*}$ nach unten durch das Minimum und nach oben durch das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ersetzen.
Dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion hat und dass damit überhaupt ein Integral definiert werden kann, folgt aus der Stetigkeit.

Nur wenn die Funktion oder das Integrationsgebiet unbeschränkt wäre, hätte man ein Problem.

15.03.2013, 13:07

Stefan03

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a) ok, passt.
b) $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2\sin(\frac{1}{x^2}) \end{eqnarray*}$ sollte auch passen smile

, wobei wieder $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$

d) naja, z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{cases} f(x)=x, x\le 0,5\\ f(x)=x-0,5, x>0,5 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

f) ok

Vielen Dank!

15.03.2013, 14:19

Che Netzer

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Du scheinst bei d) nicht ganz zu verstehen, was ich dir sagen möchte...
Die jetzt vorgeschlagene Funktion hat eine Sprungstelle, erfüllt also die Bedingungen nicht.

Und nochmals: Nimm dir irgendeine unstetige Ableitungsfunktion. Die erfüllt die Voraussetzungen aus d), ist aber nicht stetig.

15.03.2013, 14:35

Stefan03

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Dann wäre die Abl. aus Bsp. 1 eine solche Fkt?

$\begin{eqnarray*} 2x\sin(\frac{1}{x})+x^2\cos (\frac{1}{x})\frac{-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ?!?

15.03.2013, 14:42

Che Netzer

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Das kann man aber noch kürzen.
Und natürlich soll die Funktion Null an der Stelle Null sein.

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