Berechnen von bestimmten Integralen

13.03.2013, 23:38

Basi84

Berechnen von bestimmten Integralen

Ich bin nun bei Aufgaben der Integralrechnung zu lösen und zwar geht es um folgende:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (2x-1)\cdot e^{3x} \, dx \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich gerade so gar nicht wie ich bei so einer Aufgabe anfangen soll. Wenn ich mir doch die Bereiche ansehe, sollte ich doch als erstes aufleiten.

$\begin{eqnarray*} (2x-1) \end{eqnarray*}$ wäre dann ja $\begin{eqnarray*} (x^{2} - 1x+c) \end{eqnarray*}$
Aus dem $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit noch alles Richtig oder komplett falsch? Was mache ich dann nun als nächstes? Ich weiß nur, dass ich ja die Stammfunktion mit x=1 mit der x=0 subtrahiere.

Bin bei der Integralrechnung mal voll auf dem falschen Fuss getroffen worden unglücklich

Danke und Grüße

14.03.2013, 00:06

mYthos

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Stichwort: Partielle Integration

mY+

14.03.2013, 14:50

Basi84

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Hallo mYthos,

ja stimmt, es ist ein Produkt und damit kann ich es integrieren bzw. die Stammfunktion bilden. Das bereitet mir allerdings noch große Schwierigkeiten. Ich versuche mal zusammenzufassen, was ich bisher gemacht habe.

$\begin{eqnarray*} u= 2x-1 u'= 2 v=\frac{1}{3}e^{3x} v'=e^{3x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=(2x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int_0^1 \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann nun für x einmal 1 und 0 eingebe, komme ich nicht auf das korrekte Ergebnis.

Bei x=1 wären es 3,347 imd neo x=0 wären es -0,5, subtrahiere ich die beiden nun komme ich auf 3,847.

Laut Lösung kommt aber -5,695 raus. Ich bin mir auch nicht sicher, ob ich die partielle Integration überhaupt richtig anwende oder "aufgeleitet" habe .... Ich habe schon so viele Anleitungen darüber gelesen aber ganz so verstehe ich es leider noch nicht. unglücklich

14.03.2013, 14:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von Basi84
$\begin{eqnarray*} F(x)=(2x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int_0^1 \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Formal korrekt ist: $\begin{eqnarray*} F(x) = (2x-1) \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Basi84
Wenn ich dann nun für x einmal 1 und 0 eingebe, komme ich nicht auf das korrekte Ergebnis.

Das ist zwar alles ganz nett, aber du mußt schon ausführlicher beschreiben, was du wo einsetzt und welches Ergebnis du dann hast.

14.03.2013, 15:17

Basi84

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Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Ok, dadurch das ja das bestimmte Integral berechnet werden soll, habe ich einmal für X 1 eingegeben:

$\begin{eqnarray*} F(x=1) = (2\cdot 1-1) \cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 1} - \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 1} ) \, dx F(x=1) = \frac{1}{3}e^{3} - \int \! \frac{1}{6}e^{3} \, dx F(x) = 6,695 - 3,348 = 3,347 \end{eqnarray*}$

Das gleiche habe ich dann mit x=0 gemacht:

$\begin{eqnarray*} F(x) = (2\cdot 0-1) \cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 0} - \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 0} ) \, dx F(x) = -\frac{1}{3}e^{0} - \int \! (\frac{1}{6}e^{0} ) \, dx F(x) = -0,333 -0,167)=-0,5 \end{eqnarray*}$

Und dann die beiden Stammfunktionen subtrahieren.

$\begin{eqnarray*} 3,347-(-0,5)=3,347+0,5=3,847 \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 15:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von Basi84
Ok, dadurch das ja das bestimmte Integral berechnet werden soll, habe ich einmal für X 1 eingegeben:

$\begin{eqnarray*} F(x=1) = (2\cdot 1-1) \cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 1} - \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot 1} ) \, dx \end{eqnarray*}$

So geht das natürlich nicht. Da mußt du erst noch das Integral $\begin{eqnarray*} \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot x} ) \, dx \end{eqnarray*}$ bestimmen. Also erst von $\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{1}{3}e^{3\cdot x} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion finden und dann die Grenzen einsetzen.

14.03.2013, 15:35

Basi84

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Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Ok, ich verstehe. Nur wie fange ich denn da an die Stammfunktion zu finden? von 2 wäre es dann 2x+c? und bei der Exponentialfunktion?

14.03.2013, 16:03

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Bedenke, daß 2 nur ein konstanter Faktor ist. Den brauchst du nur vor das Integral ziehen. Und was die e-Funktion angeht, wundert mich deine Frage. Die hast du doch schon mal integriert.

14.03.2013, 16:37

Basi84

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Also wäre es die gleiche Schreibweise, wenn der Faktor vorne steht.
$\begin{eqnarray*} 2\cdot \int \!\frac{1}{3}e^{3\cdot x} ) \, dx F(x)=2e^{3x} \end{eqnarray*}$

Wäre das soweit richtig?

15.03.2013, 00:21

mYthos

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Nach der Richtigkeit müsstest du nicht fragen, denn du kannst sofort die Probe mittels Ableiten machen!
Und was siehst du dann? Es kommt leider nicht wieder die ursprüngliche Funktion heraus! Der Fehler liegt daran, dass du mit der Konstanten (3) multipliziert hast, anstatt ... ?

mY+

15.03.2013, 15:53

Basi84

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Irgendwie komme ich da nicht drauf. Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$

Dann wird ja die Stammfunktion gesucht. Ist das dann nicht auch $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir gerade nicht sicher wie die "aufleitung" von e erstellt wird. Bei $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ bleibt es ja so, aber der Faktor 3 irritiert mich einfach verwirrt

15.03.2013, 16:01

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Zitat:

Original von Basi84
Irgendwie komme ich da nicht drauf. Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$

Dann wird ja die Stammfunktion gesucht. Ist das dann nicht auch $\begin{eqnarray*} F(x)=e^{3x} \end{eqnarray*}$

Nein, wie man leicht durch Ableiten von F(x) feststellt.

Ich muß mich aber über deine Fragen wundern, denn hier liegt die Antwort begraben:

Zitat:

Original von Basi84
$\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{3}e^{3x} v'=e^{3x} \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn (was ja in Ordnung ist) von $\begin{eqnarray*} v'=e^{3x} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{3}e^{3x} \end{eqnarray*}$ gekommen?

15.03.2013, 17:58

Basi84

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Aufgrund der Potenzregel kann man es ja aufleiten.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x^{n+1} }{n+1} +c \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann so einsetze kommt folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{ e^{4x} }{4} \end{eqnarray*}$

Davon wieder die Ableitung:

$\begin{eqnarray*} F'(x)= \frac{4\cdot \frac{1}{3}}{4} e^{3x} = \frac{1}{3}e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ist der Vorgang soweit schonmal richtig, oder habe ich wieder Fehler drin?

18.03.2013, 09:04

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RE: Berechnen von bestimmten Integralen
Mit deinen tollen Rechenregeln widersprichst du dir selbst, denn dann wäre das:

Zitat:

Original von Basi84
Aus dem $\begin{eqnarray*} e^{3x} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$

ja schon falsch gewesen. Außerdem wäre die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ die Funktion $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 \cdot e^{(1-1)x} = 1 \cdot e^0 = 1 \end{eqnarray*}$ . Falls du aber wenigstens die Minimalkenntnisse über die e-Funktion mitbringst, solltest du spätestens hier merken, daß mit deiner Regel was nicht stimmt. Zur Erinnerung: die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion und keine Potenzfunktion . smile

18.03.2013, 10:47

Basi84

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Ja du hast recht, irgendwie bin ich da ein wenig mit durcheinander gekommen.

Also müsste doch nun folgendes stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} e^{4x} =\frac{1}{12} e^{4x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das wieder ableiten würde:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=4\cdot \frac{1}{12} e^{3x} =\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$

Die 2 kann ja als Faktor vorne stehen bleiben, wie du schriebst.

Nur wie fahre ich nun weiter fort? Wo genau setze ich denn dann die Grenzen 1 und 0 ein, damit ich es "subtrahieren" kann? smile

18.03.2013, 10:56

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Zitat:

Original von Basi84
Also müsste doch nun folgendes stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4} e^{4x} =\frac{1}{12} e^{4x} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das wieder ableiten würde:

$\begin{eqnarray*} F'(x)=4\cdot \frac{1}{12} e^{3x} =\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$

Nein, das ist es immer noch nicht. Du wendest wieder die Potenzregel an. Wie wäre es, wenn du du dich mal nur mit der Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{3x} \end{eqnarray*}$ beschäftigen würdest?

18.03.2013, 11:44

Basi84

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Ich hoffe ich komme jetzt zu der richtigen Stammfunktion.

Ich gehe es trotzdem nochmal mit der ganzen Exponentialfunktion an:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3} e^{3x} F(x)= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3} e^{3x} =\frac{1}{9}e^{3x} F'(x)= 3\cdot \frac{1}{3} e^{3x} =\frac{3}{9} e^{3x} =\frac{1}{3} e^{3x} \end{eqnarray*}$

Ist das nun soweit in Ordnung, oder habe ich immer noch Fehler drin?

18.03.2013, 12:44

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Das ist ok. smile

18.03.2013, 14:38

Basi84

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Sehr gut, danke smile

Nur wie fahre ich nun fort? Wenn ich in der Stammfunktion F je 1 und 0 einsetze komme ich immer noch nicht auf das Ergebnis.

$\begin{eqnarray*} F(x=1)= (2\cdot 1-1) \frac{1}{3} e^{3} -2\cdot \frac{1}{9} e^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)= (2\cdot 0-1) \frac{1}{3} e^{0} -2\cdot \frac{1}{9} e^{0} \end{eqnarray*}$

Dann kommt raus:

-20,086-(-3)= -17,086

verwirrt

18.03.2013, 15:26

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Du mußt erstmal eine prinzipielle Entscheidung fällen:

Möglichkeit 1: du willst mit $\begin{eqnarray*} \int_0^1 (2x-1)\cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$ ein bestimmtes Integral berechnen. Dann lautet der Schritt bei der partiellen Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 (2x-1)\cdot e^{3x} ~dx = [(2x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x}]_0^1 - \int_0^1 \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} ) ~dx \end{eqnarray*}$

Hinten hast du also wieder ein bestimmtes Integral.

Oder Möglichkeit 2: du bestimmst erstmal zu $\begin{eqnarray*} f(x) = (2x-1)\cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion. Dann lautet der Schritt bei der partiellen Integration:

$\begin{eqnarray*} F(x) = (2x-1)\cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \! (2\cdot \frac{1}{3}e^{3x} ) \, dx \end{eqnarray*}$

Dann hast du hinten ein unbestimmtes Integral. Da mußt du erstmal von dem Integranden eine Stammfunktion bilden, damit du ein komplett fertiges F(x) erhältst.

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