Lage Gerade u. Ebene (Parameterform)

14.03.2013, 00:17	gucksi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lage Gerade u. Ebene (Parameterform) Hallo ich wollte fragen, wie man vorgehen muss wenn man die Lagebziehung zwischen Gerade und Ebene wissen will. Die Ebene ist in Parameterform gegeben. Wenn beim Skalarprodukt KEINE NULL rauskommt, schneiden sich Gerade und Ebene... Aber wie muss ich das Skalarprodukt aufstellen? Gegeben: g : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ E: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Richtiger 1. Schritt? Kreuprodukt bilden $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das wäre schon mal der 1. Vektor den ich für das Skalarprodukt brauche! Mit welchen Vektor muss ich denn jetzt mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multiplizieren? Danke vorab
14.03.2013, 00:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
... mit dem Richtungsvektor der Geraden!
14.03.2013, 00:35	gucksi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Mythos Was meinst du zur Vorgehensweise? 1. Kreuzprodukt bilden 2. Ergebnis des Kreuzproduktes mit RV multiplizieren -> Kommt eine Null raus, sind g und E parallel Richtig? 3. Kommt keine Null raus --> Haben g und E einen Schnittpunkt. 4. Angenommen es kommt keine Null raus, wie müsste ich dann weiter vorgehen?
14.03.2013, 00:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du tun? Den Schnittpunkt bestimmen? In diesem Fall: Die Parameter bei der Geraden und der Ebene müssen alle verschieden benannt werden (Lambda NICHT doppelt!). Übrigens fehlt bei beiden links der Vektor X. Nun werden beide Parametergleichungen zeilenweise (--> 3 Zeilen) gleichgesetzt, das ergibt 3 Gleichungen in den 3 Parametern. Deren Lösungen wieder in die Parameterformen eingesetzt, führen beide Male zu einem bestimmten Punkt X, der dann der gemeinsame Schnittpunkt ist. mY+
12.04.2013, 18:04	gucksi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos ich hab das jetzt lösen können mit den 3 Gleichung :-) Meine Frage : Gäbe es noch einen anderen möglichen Lösungsweg ohne die Ebene in eine andere Form umzuändern (Koordinaten-, Normalenform) ?
13.04.2013, 00:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Mit den Komponenten der beiden Richtungsvektoren der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden wird eine dreireihige Determinante gebildet und deren Wert berechnet. Ist dieser Null, so liegt lineare Abhängigkeit vor und die Gerade liegt entweder in der Ebene oder ist zu ihr parallel. Eine Anmerkung zur Alternative: Der Wert dieser Determinante ist gleich dem Spatprodukt der drei Vektoren. mY+
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