Binomischer Lehrsatz und geom. Summenformel

14.03.2013, 10:16

Rubens

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Binomischer Lehrsatz und geom. Summenformel

Meine Frage:
Hallo, ich recherchiere nun schon länger. Schaue Tutorials zur geom. Summenformel, zum bin. Lehrsatz, lese Erklärungen im Internet etc., doch nichts von dem beantwortet meine Fragen. Jetzt hier, vielleicht kann mich jemand zurück ins Licht führen. (c:

Was ich z.B. zu lösen versuche:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (x^2)^k \end{eqnarray*}$

oder auch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (-1/3)^2k+1 <br /> <br /> (2k+1) \end{eqnarray*}$ sei hier der komplette Exponent.

Meine Ideen:
Soweit ich weiß, soll nun die angegebene Summe in Form des bin. Lehrsatzes angenähert werden. Diese heißt ja:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^n-k * b^k =(a+b)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ sei jetzt mein "b" der allgemeinen Formel.

Ich würde nun versuchen dies umzuformen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (x^2)^k * 1^n-k \end{eqnarray*}$

Aufgelöst wäre es meiner Ansicht nach: $\begin{eqnarray*} (x^2+1)^n \end{eqnarray*}$

Das stimmt jedoch in keinster weise mit meinen Lösungen überein:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^2n+2}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ Dabei soll der Exponent $\begin{eqnarray*} 2n+2 \end{eqnarray*}$ sein.

Bitte helft mir, was ist zu tun um auf diese Lösung zu kommen?
Ich glaube es ist furchtbar leicht..

Vielen Danke
Gruß Rubens

14.03.2013, 10:43

Iorek

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Vergiss den binomischen Lehrsatz und sieh dir lieber die geometrische Summenformel aus deinem Titel an. Damit ist das leicht zu lösen.

14.03.2013, 12:08

Rubens

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Richtig?
Okay, ich denke ich habe eventuell das richtige gefunden. Komme jetzt auf das erste Ergebnis.

Für die zweite Aufgabe habe ich (leider) keine Lösung
Hier mein Ansatz zur Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \frac{-1}{3} ^2k+1 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3} \sum\limits_{k=2}^7 [(\frac{-1}{3} )^2]^{k+1} \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3} \sum\limits_{k=2}^7 \frac{-1}{9} ^{k+1} \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{3} \cdot \frac{-1}{9} ^{k+1} \sum\limits_{k=2}^7 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \frac{1}{27} ^{k+1} \end{eqnarray*}$

5. $\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{27}^8 }{1-\frac{1}{27} } \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

14.03.2013, 12:12

Che Netzer

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RE: Richtig?
Setze deine Exponenten in geschweifte Klammern, damit man sie auch lesen kann. Brüche kannst du ja auch schöner darstellen.
Z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^7\left(-\frac13\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ . Code: \sum_{k=2}^7\left(-\frac13\right)^{2k+1}.

14.03.2013, 12:13

Rubens

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Danke, ich werde es korrigieren, damit man's besser lesen kann

EDIT: Geändert

14.03.2013, 12:41

Iorek

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Nein, das wäre so nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^7\left(-\frac13\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ , zuerst solltest du die $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ aus dem Exponenten entfernen. Dein Gedanke mit $\begin{eqnarray*} \left(-\frac 13\right)^{2k}=\left(\left(-\frac 13\right)^2\right)^k \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung, allerdings hast du dann falsch weitergerechnet. Was du dann in deinem dritten schritt machst, kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.

Du solltest dir nochmal genau die geometrische Summenformel ansehen und vor allem auf die Summenindizes achten.

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15.03.2013, 07:47

Rubens

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Hey, vielen Dank für die Unterstützung.
Leider weiß ich nicht weiter:
Ab deinem Einstiegspunkt stellt sich mir gleich die Frage:
Wie bekomme ich die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ aus dem Exponent? Was darf ich, was darf ich nicht?

Ferner wird:

$\begin{eqnarray*} ((\frac{-1}{3})^2)^k \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} (\frac{-1}{9})^k \end{eqnarray*}$

und weiter? :/

Ab Schritt 3 versuchte ich meinen Funktionswert mit dem Koeffizienten VOR dem Sigma zu multiplizieren. Wenn das nicht notwendig oder gar falsch ist, klärt mich bitte auf.

Vielen Dank bisher
Gruß Rubens

15.03.2013, 09:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rubens
Ferner wird:

$\begin{eqnarray*} ((\frac{-1}{3})^2)^k \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} (\frac{-1}{9})^k \end{eqnarray*}$

Überleg dir nochmal, was mit der -1 beim Quadrieren passiert.

Zitat:

Original von Rubens
Ab Schritt 3 versuchte ich meinen Funktionswert mit dem Koeffizienten VOR dem Sigma zu multiplizieren. Wenn das nicht notwendig oder gar falsch ist, klärt mich bitte auf.

Du kannst keinen Ausdruck vor die Summe ziehen, der noch den Summationsindex k enthält. Beachte vor allem den Tipp von Iorek, daß du erstmal die +1 aus dem Exponenten entfernen mußt. Und das noch, bevor du das Quadrat in die Basis reinziehst. Nutze dazu Potenzregeln wie $\begin{eqnarray*} a^{x+y} = a^x \cdot a^y \end{eqnarray*}$ .

15.03.2013, 12:19

Rubens

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Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^7\left(-\frac13\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ |Nach Potenzgesetzt: $\begin{eqnarray*} a^{x+y} = a^{x} + a^{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \frac{-1}{3}^{2k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$ |Potenzieren der Potenz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 ((\frac{-1}{3})^{2})^{k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$ |Quadrat in die Basis

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac{1}{9})^{k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$

Damit wir uns recht verstehen.
Mein Ziel ist es folgende Summen-Folge in diese Form zu bringen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 x^k \end{eqnarray*}$

Um diese hier einzusetzten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, dann käme ich schlussendlich wieder auf mein vorheriges, falsches Ergebnis unglücklich

unglücklich

Bitte korrigieren, wenn nicht

Danke soweit!

15.03.2013, 12:52

Rubens

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Zitat:

Original von Rubens
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac{1}{9})^{k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$

Ich denke so sollte es sein:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \cdot \frac{1-\frac{1}{9}^8 }{1-\frac{1}{9} } \end{eqnarray*}$

richtig?

15.03.2013, 14:28

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rubens
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \frac{-1}{3}^{2k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$

Klammern helfen, das richtig zu interpretieren:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac{-1}{3})^{2k} \cdot (-\frac{1}{3})^1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Rubens
Mein Ziel ist es folgende Summen-Folge in diese Form zu bringen:[/I]
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 x^k \end{eqnarray*}$

Um diese hier einzusetzten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$

Du mußt dabei bedenken, daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist.

Mithin ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac 1 9)^k \neq \frac{1-(\frac 1 9)^8}{1- \frac 1 9} \end{eqnarray*}$ .

16.03.2013, 09:48

Rubens

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Zitat:

Du mußt dabei bedenken, daß $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist.

Mithin ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac 1 9)^k \neq \frac{1-(\frac 1 9)^8}{1- \frac 1 9} \end{eqnarray*}$ .

Hey, vielen Dank!
Leider ist nichts klarsoweit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ähm, das hilft mir in dem Sinne nicht weiter, weil ich nun trotzdem nicht weiß wo ich hin muss. (Ziel)

Du sagst, dass es ungleich ist. Kannst Du vielleicht erläutern wieso es der Fall ist?
Ich hoffe es liegt nicht daran, dass Du dich auf eine ältere Löung beziehst.
Andernfalls würde ich sagen, dass $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ noch irgendwie einbezogen werden müssen.

Danke vielmals!
Gruß Rubens

16.03.2013, 09:59

Iorek

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Das $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ muss am Ende mit beachtet werden, ja, das ist hier aber nicht das Hauptproblem.

Du kannst jetzt den (konstanten) Faktor $\begin{eqnarray*} -\frac 13 \end{eqnarray*}$ vor das Summenzeichen ziehen. Aber guck dir nochmal genau die Summenindizes an. Die Formel für die geometrische Reihe benötigt einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits^n_{k=\color{red}0\color{black}} q^k \end{eqnarray*}$ , deine Summe fängt aber mit $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ an.

16.03.2013, 16:14

Rubens

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Ah, super danke!
Gut, versuche ich das mal Schrittweise. Ich denke das richtige Stichwort sei hier "Indexverschiebung"
Demnach ist der Startwert des Laufindex' (wie von dir angedeutet) von $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ zu setzten.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \sum\limits_{k=2}^7 (\frac{1}{9})^k \end{eqnarray*}$

Indexverschiebung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \sum\limits_{k=0}^7 (\frac{1}{9})^{k+1+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \sum\limits_{k=0}^7 (\frac{1}{9})^{k+2} <br /> \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------------------------

Jetzt muss ich doch die $\begin{eqnarray*} ^{+2} \end{eqnarray*}$ noch "extrahieren". Bzw. hätte es wohl gleich im ersten Schritt machen sollen.. .

Sprich:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{1}{3})^3 \sum\limits_{k=0}^7 (\frac{1}{9})^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{1}{27} \sum\limits_{k=0}^7 (\frac{1}{9})^k \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------------------------

Ich tue dann jetzt mal so, als hätte ich den Schluss richtig gehabt:

Zitat:

Das $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ muss am Ende mit beachtet werden, ja, (...)

Dann würde ich das $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ in sofern einbeziehen, dass $\begin{eqnarray*} x^{n+1} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{27} \frac{1-(\frac{1}{9})^8 }{1-\frac{1}{9} } \end{eqnarray*}$

mh?

16.03.2013, 16:22

Iorek

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Der Gedanke mit der Indexverschiebung ist richtig, allerdings kannst du nicht einfach nur den Startwert ändern, der Endwert muss auch geändert werden.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \left(\frac 19\right)^k \end{eqnarray*}$ , der höchste Exponent ist hier $\begin{eqnarray*} k=7 \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^7 \left(\frac 19\right)^{k+2} \end{eqnarray*}$ ist der höchste Exponent auf einmal $\begin{eqnarray*} k=9 \end{eqnarray*}$ . Wenn du das noch korrigierst, ist dein Ergebnis korrekt.

16.03.2013, 16:33

Rubens

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Okay, hoffe der Endwert ist analog zum Startwert um die selbe Summe zu erhören.

Also wenn $\begin{eqnarray*} k=9 \end{eqnarray*}$ (bei ursprünglich $\begin{eqnarray*} n=7 \end{eqnarray*}$ ) erreicht werden kann, dann ist hoffentlich $\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$

Wenn du mir jetzt explizit sagst, dass meine Endlösung jetzt so richtig ist, bin ich dir zu tiefst dankbar!

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{27} \frac{1-(\frac{1}{9})^{10} }{1-\frac{1}{9} } \end{eqnarray*}$

16.03.2013, 16:38

Iorek

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Wie kann denn bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^7 \left(\frac 19\right)^k \end{eqnarray*}$ im Exponenten $\begin{eqnarray*} k=9 \end{eqnarray*}$ erreicht werden? verwirrt

verwirrt

Ganz im Gegenteil, nach deiner Indexverschiebung wird dein Exponent "zu groß", der Endwert der Summe muss analog zum Startwert nach unten korrigiert werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.03.2013, 16:53

Rubens

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Ahh, dann verstehe ich auch den Sinn dahinter Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich danke Dir und auch den anderen für ihre Großzügigkeit!
Es hat gedauert, aber jetzt kann ich jedenfalls etwas mit der geometrischen Summenformel anfangen!

Gott

Gott

Gott

Gott

Vielen Dank!

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