Doppelpost! Gleichung der Ebene

14.03.2013, 10:22

rasputin87

Gleichung der Ebene

Ich suche die Gleichung der Ebene, welche durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P = \left(1;-1;2\right) \end{eqnarray*}$ und die Gerade l mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} x + 2 = y + 1 = \frac{z + 5}{2} \end{eqnarray*}$ enthält.

Lösung ist $\begin{eqnarray*} 7x - y - 3z = 2 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich nun daran?

14.03.2013, 10:57

rasputin87

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Eien Idee wäre vielleicht die Geradengleichung aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 11:21

riwe

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Zitat:

Original von rasputin87
Eien Idee wäre vielleicht die Geradengleichung aufzustellen:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da dürftest du dich aber verrechnet haben verwirrt

14.03.2013, 11:23

rasputin87

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Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Dann ist mir nicht ganz klar, wie ich in desem Fall die Geradengleichung aufstelle!

14.03.2013, 12:05

eulerle

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Du setzt zum Beispiel alle 3 Terme in der Geradengleichung gleich t und löst dann jeweils nach x,y oder z auf. Dann kommst du genau auf die Gerade vom Hernn rasputin, außer mit einer -5 statt einer 5 smile

14.03.2013, 12:08

rasputin87

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Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Also ist meine Geradengleichung so richtig?

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 15:35

rasputin87

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Wie erstelle ich nun darüber meine Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} 7x - y - 3z = 2 \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 16:18

eulerle

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Für eine Ebene brauchst du ja einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren.
Da die Gerade in der Ebene liegt, hast du schon den Stützvektor und einen Richtungsvektor.

Es fehlt also noch der zweite Richtungsvektor... aber du weißt ja, dass der Punkt P auch noch in der Ebene liegen muss... (Eine Skizze könnte hilfreich sein)

Wenn du das dann hast, einfach die Parameterform in die Koordinatenform umwandeln!

14.03.2013, 16:23

rasputin87

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Die Ebenengleichung müsste also so aussehen

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die entscheidende Frage lautet nun wie ich auf den 2. Richtungsvektor komme.
Die Umformung danach ist klar.

14.03.2013, 16:36

eulerle

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Der Stützvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist ja sozusagen ein "Punkt" der in der Ebene und auf der Geraden liegt. Wenn du den jetzt mit dem Punkt P verbindest, erhältst du deinen zweiten Richtungsvektor.

14.03.2013, 16:44

rasputin87

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Ich hab den Stützvektor jetzt so gelöst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann löse ich das Kreuzprodukt aus den beiden Stützvektoren und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ -5 \end{pmatrix} = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7x -y -3z = 2 \end{eqnarray*}$

14.03.2013, 16:49

eulerle

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Da hast du's ja schon fast.
$\begin{eqnarray*} E: 7x-y-3z=d \end{eqnarray*}$
jetzt musst du nur noch einen Punkt einsetzten, der in der Ebene liegt um d zu erhalten.

14.03.2013, 16:50

rasputin87

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Zitat:

Original von eulerle
Da hast du's ja schon fast.
$\begin{eqnarray*} E: 7x-y-3z=d \end{eqnarray*}$
jetzt musst du nur noch einen Punkt einsetzten, der in der Ebene liegt um d zu erhalten.

Sie 2 Posts höher!
Vielen Dank für deinen Anstoss!

18.03.2013, 19:57

sulo

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