Nullstellen in quaternion polynom

14.03.2013, 12:30	free-89	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen in quaternion polynom Ich soll alle nullstellen des polynoms $\begin{eqnarray} x^2+x+1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \epsilon \mathbb H \end{eqnarray}$ bestimmen. ich hab natürlich die complexen lösungen $\begin{eqnarray} x = exp(2 i \pi /3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = exp(2 j \pi /3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = exp(2 k \pi /3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -exp(i \pi /3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -exp(j \pi /3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = -exp(k \pi /3) \end{eqnarray}$ Aber sind das alle? Und wenn nein wie finde ich die restlichen?
15.03.2013, 17:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Quaternionenalgebra $\begin{eqnarray} \mathbb{H} \end{eqnarray}$ ist speziell ein vierdimensionaler reeller Vektorraum mit der kanonischen Basis $\begin{eqnarray} 1, \operatorname{i}, \operatorname{j}, \operatorname{k} \end{eqnarray}$ . Der von den Basiselementen $\begin{eqnarray} \operatorname{i}, \operatorname{j}, \operatorname{k} \end{eqnarray}$ erzeugte Unterraum ist der sogenannte Imaginärraum $\begin{eqnarray} \operatorname{Im}(\mathbb{H}) \end{eqnarray}$ . Somit gilt $\begin{eqnarray} \mathbb{H} = \mathbb{R} \oplus \operatorname{Im}(\mathbb{H}) \end{eqnarray}$ im Sinne der direkten Summe von Vektorräumen. Jedes Element $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{H} \end{eqnarray}$ läßt sich daher in eindeutiger Weise als $\begin{eqnarray} x = \alpha + u \ \ \text{mit} \ \ \alpha \in \mathbb{R} \, , \ u \in \operatorname{Im}(\mathbb{H}) \end{eqnarray}$ schreiben. Da die Elemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ bei der Quaternionenmultiplikationen mit allen Elementen von $\begin{eqnarray} \mathbb{H} \end{eqnarray}$ kommutieren, gilt $\begin{eqnarray} x^2 = \left( \alpha + u \right)^2 = \alpha^2 + 2 \alpha u + u^2 \end{eqnarray}$ Nun läßt sich leicht nachrechnen, daß $\begin{eqnarray} u^2 \end{eqnarray}$ die negative Quadratsumme der Koeffizienten von $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ bezüglich $\begin{eqnarray} \operatorname{i}, \operatorname{j}, \operatorname{k} \end{eqnarray}$ ist, insbesondere also $\begin{eqnarray} u^2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt. Damit folgt: $\begin{eqnarray} x^2 + x + 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \alpha^2 + 2 \alpha u + u^2 + \alpha + u + 1 = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \underbrace{\alpha^2 + \alpha + 1 + u^2}_{\in \mathbb{R}} + \underbrace{2 \alpha u + u}_{\in \operatorname{Im}(\mathbb{H})} = 0 \end{eqnarray}$ Durch Trennung in Real- und Imaginärteil bekommt man die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \alpha^2 + \alpha + 1 + u^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \left( 2 \alpha + 1 \right) u = 0 \end{eqnarray}$ Die Gleichung $\begin{eqnarray} \text{(2)} \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ erfüllt, was aber bei $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ zur unlösbaren quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha^2 + \alpha + 1 = 0 \end{eqnarray}$ führt (denn $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist ja reell). Daher muß $\begin{eqnarray} u \neq 0 \end{eqnarray}$ sein. Jetzt schließe weiter.

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