Calculation Camera Transformation with XYZ and UV Pairs

14.03.2013, 17:17

xeed

Calculation Camera Transformation with XYZ and UV Pairs

Hallo

ich habe ein Problem mit der Berechnung der Transformationsmatrix einer Kamera anhand von bekannten 3d Koordinaten zu 2d Bildkoordinaten (XYZ <-> UV)

Ich habe das Problem anderer Stelle bereits beschrieben und um die formatierung zu Umgehen poste ich dazu mal einen Link. (Leider auf englisch)

Ich hab mir mal die Mühe gemacht, den Text aus dem Link rauszukopieren, die LaTeX-Tags mit unseren auszutauschen und das Ganze hier als Zitat reinzuhängen. Vielleicht kommen dann ein paar Antworten. Steffen

Zitat:

Basis: I have an image. In this image I have several UV-XYZ pairs. So i know the 3d position of serveral Pixels.

Given the following equations from 3d to 2d space.

$\begin{eqnarray*} Z_{c} \begin{pmatrix} U \\ V \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f & 0 & px \\ 0 & f & py \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{1} & r_{2} & r_{3} & t_{1}\\ r_{4} & r_{5} & r_{6} & t_{2}\\ r_{7} & r_{8} & r_{9} & t_{3} \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

f, px, py are known constants. Many $\begin{eqnarray*} UV \to XYZ \end{eqnarray*}$ pairs are known. I want to get $\begin{eqnarray*} r_{1} - r_{9}, t_{1}, t_{2} \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} t_{3} \end{eqnarray*}$

I can transform to:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f & 0 & px \\ 0 & f & py \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} U \\ V \\ 1 \end{pmatrix} = \frac 1 Z_{c} \begin{pmatrix} r_{1} & r_{2} & r_{3} & t_{1}\\ r_{4} & r_{5} & r_{6} & t_{2}\\ r_{7} & r_{8} & r_{9} & t_{3} \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

The $\begin{eqnarray*} Z_{c} \end{eqnarray*}$ is the distance from camera to the point AFTER the multiplikation with the unknown transformation matrix.

$\begin{eqnarray*} Z_{c} = \begin{pmatrix} r_{7} & r_{8} & r_{9} & t_{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ This leads to these equations for U and V: $\begin{eqnarray*} U_{k} = \frac {r_{1}X + r_{2}Y + r_{3}Z + t_{1}} {r_{7}X + r_{8}Y + r_{9}Z + t_{3}} V_{k} = \frac {r_{4}X + r_{5}Y + r_{6}Z + t_{2}} {r_{7}X + r_{8}Y + r_{9}Z + t_{3}} \end{eqnarray*}$

The question in the end is quite simple. I need to transform this equation into an overdetermined linear equation or whatever, so i can solve it for many value pairs $\begin{eqnarray*} UV \to XYZ \end{eqnarray*}$

Das Problem ist Zc. Ohne dieses kann ich das Problem in ein lineares Ausgleichsproblem transformieren. Mit Zc scheitern meine Fähigkeiten aber leider.

Danke für eure Hilfe

mfg
xeed

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