Integral über trigonometrisches Additionstheorem lösen

15.03.2013, 09:41	Magnus87	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über trigonometrisches Additionstheorem lösen Hallo, mein Lehrer meine es ließe sich folgendes Glied über das trigonometrische Additionstheorem oder Trigonometrischer Pythagoras $\begin{eqnarray} sin^{2}x+cos^{2}x=1 \end{eqnarray}$ lösen: $\begin{eqnarray} \frac{5}{1+x^{2} } \end{eqnarray}$ das Ergebnis soll sein: $\begin{eqnarray} 5arctan(x) \end{eqnarray}$ ich würde gerne den Weg dorthin kennen lernen, habe selber aber absolut keine Idee wie ich das anstellen soll. liebe grüße
16.03.2013, 00:42	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, meiner Meinung nach wird es ohne Substitution nicht gehen. Und zwar: $\begin{eqnarray} x=tan(t) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} t=arctan(x) \end{eqnarray}$ Somit müsstest du erstmal $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt} \end{eqnarray}$ bestimmen. Also die Ableitung von $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Man kann es über Beziehung $\begin{eqnarray} tan(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)} \end{eqnarray}$ leicht herleiten. Hier kannst du schon im Zähler der Ableitung den trigonometrischen Pythagoras anwenden. Dann nach dx auflösen. Das hast du alles, damit du hier alles einsetzen kannst: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{5}{1+x^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ Jetzt musst du nur wieder berücksichtigen, dass $\begin{eqnarray} tan(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)} \end{eqnarray}$ . Dann kannst du wieder den trigometrischen Pythagoras anwenden. Grüße.

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