Liouville und Landau

15.03.2013, 10:43

pitti_p

Liouville und Landau

Meine Frage:
Moin,

habe die Suchfunktion betätigt, leider nichts hilfreiches dabei. Ich habe eine ganze Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} M(r,Re(\phi))=o(r) \qquad (r\to \infty) \end{eqnarray*}$ ,

wobei

$\begin{eqnarray*} M(r,\phi):=\max\limits_{|z|=r}|f(z)| \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi\equiv const. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ganz ist, klingelt natürlich der Satz von Liouville. Leider weiß ich ja zunächst nur:

Zu $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} r_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |\phi(z)|\leq \epsilon |z| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\geq r_0 \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits gezeigt:

a) Ist der Realteil einer ganzen Funktion konstant, so gilt selbiges für die Funktion

b) Ist $\begin{eqnarray*} Re(\phi(z))\geq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ konstant

Beides bringt mir leider (im Moment) nichts.

Kann mit bitte jemand einen Hinweis geben?

Danke euch!

peter

15.03.2013, 11:23

pitti_p

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch versucht etwas mittels der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |z|\leq e^{|z|} \end{eqnarray*}$

etwas herauszubekommen. Anwendung

$\begin{eqnarray*} |\phi(z)|\leq e^{|\phi(z)|}=e^{Re(\phi(z))}\leq e^{\epsilon |z|} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\geq r_0 \end{eqnarray*}$

Leider kann ich daraus auch nichts folgern!

15.03.2013, 11:48

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Liouville und Landau
Das $\begin{eqnarray*} o(r) \end{eqnarray*}$ soll wohl ein Landau-Symbol sein.

Zitat:

Original von pitti_p
$\begin{eqnarray*} M(r,\phi):=\max\limits_{|z|=r}|f(z)| \end{eqnarray*}$ .

Du meinst wohl eher

$\begin{eqnarray*} M(r,f):=\max\limits_{|z|=r}|f(z)| \end{eqnarray*}$ .

Warum steht im ersten Ausdruck $\begin{eqnarray*} M(r,\operatorname{Re}(\phi)) \end{eqnarray*}$ ? Soll das bedeuten, $\begin{eqnarray*} \max\limits_{|z|=r} |\operatorname{Re}(\phi(z))| = o(r) \end{eqnarray*}$

also der Betrag des Realteils von $\begin{eqnarray*} \phi(z) \end{eqnarray*}$ ist im Limes asymptotisch vernachlässigbar gegenüber r?

Übrigens:
$\begin{eqnarray*} |\phi(z)|\not=\operatorname{Re}(\phi(z)) \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 13:25

pitti_p

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Liouville und Landau

Zitat:

Du meinst wohl eher

$\begin{eqnarray*} M(r,f):=\max\limits_{|z|=r}|f(z)| \end{eqnarray*}$ .

Ja, habe mich verschrieben.

Zitat:

zu:
$\begin{eqnarray*} |\phi(z)|\not=\operatorname{Re}(\phi(z)) \end{eqnarray*}$

Da habe ich auch nicht behauptet, aber schreibe $\begin{eqnarray*} \phi=Re(\phi)+ i Im(\phi) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} |e^{\phi}|=|e^{Re(\phi)+ i Im(\phi)}|=|e^{Re(\phi)}||e^{iIm(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} |e^{iIm(\phi)}|=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |e^{Re(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ (wir sind ja in diesem Fall im reellen)

Und mehr habe ich ja nicht behauptet.

15.03.2013, 13:31

pitti_p

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, $\begin{eqnarray*} o(r) \end{eqnarray*}$ ist ein Landau-Symbol, also in diesem Fall

$\begin{eqnarray*} \lim_{r\to\infty}\frac{|Re(\phi)|}{r}=0 \end{eqnarray*}$

15.03.2013, 13:59

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Liouville und Landau

Zitat:

Original von pitti_p

Da habe ich auch nicht behauptet, aber schreibe $\begin{eqnarray*} \phi=Re(\phi)+ i Im(\phi) \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} |e^{\phi}|=|e^{Re(\phi)+ i Im(\phi)}|=|e^{Re(\phi)}||e^{iIm(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} |e^{iIm(\phi)}|=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |e^{Re(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ (wir sind ja in diesem Fall im reellen)

Und mehr habe ich ja nicht behauptet.

Da hast du recht, aber du hattest es anders geschrieben: $\begin{align*} e^{|\phi|} \end{align*}$ , nicht $\begin{align*} \lvert e^{\phi}\rvert \end{align*}$ . Mit Imaginärteil =0 muss es heißen

$\begin{eqnarray*} e^{|\phi|} =e^{\sqrt{\operatorname{Re}(\phi)^2+\operatorname{Im}(\phi)^2}}= e^{|Re(\phi)|} \end{eqnarray*}$

und das ist nicht unbedingt dasselbe wie $\begin{align*} \lvert e^{\operatorname{Re}(\phi)}\rvert \end{align*}$ , da der Realteil auch negativ werden kann.

15.03.2013, 14:05

pitti_p

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Liouville und Landau
Du hast auch recht, ich meinte das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |e^{\phi}|=|e^{Re(\phi)+ i Im(\phi)}|=|e^{Re(\phi)}||e^{iIm(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ ,

da $\begin{eqnarray*} |e^{iIm(\phi)}|=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |e^{Re(\phi)}|=e^{Re(\phi)} \end{eqnarray*}$ (wir sind ja in diesem Fall im reellen)

Und mehr habe ich ja nicht behauptet.

Das im ersten Beitrag habe ich falsch geschrieben. Leider komme ich dennoch nicht weiter. Ich habe ja versucht irgendwie auf eine Aussage zu kommen "der Reatletil ist beschränkt", aber das stimmt ja erstmal so nicht. Noch ne andere Idee?

15.03.2013, 15:46

pitti_p

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich eine geeignete Hilfsfunktion betrachten?

Neue Frage »

Antworten »

Liouville und Landau

Verwandte Themen