(n ^ 2)

15.03.2013, 11:24

Sanguinius

Konvergenz von (n^1/n)/(n ^ 2)

Hi,

ich habe die konkrete Aufgabe gerade nicht hier liegen, aber es handelt sich um etwas dieser Art:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to infty} \frac{n^{\frac{1}{n}}+n^{2} +3}{n^{2}+ 3n+5 } \end{eqnarray*}$

Nun würde ich argumentieren, dass (a_n) konvergiert und zwar gegen 1, weil ich die beiden n^2 einfach ausklammern kann und $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac{1}{n} }}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergiert.

Im Tutorium wurde gesagt, dass man so nicht argumentieren darf, sondern $\begin{eqnarray*} exp(\frac{1}{n} log(n)) \end{eqnarray*}$ verwenden muss und es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to infty} \frac{1}{n} log(n) = 0 \end{eqnarray*}$

Wer kann mir das erklären?

15.03.2013, 11:36

Grautvornix

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von (n^1/n)/(n ^ 2)

Zitat:

Original von Sanguinius
Im Tutorium wurde gesagt, dass man so nicht argumentieren darf

Was man darf und was nicht hängt davon ab was schon bekannt ist.

Wenn Du schon weisst, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$

dann darfst Du sicher so argumentieren.

Andernfalls bietet es sich an hier abzuschätzen, z.B. mittels

$\begin{eqnarray*} 1\leq\sqrt[n]{n}\leq n \end{eqnarray*}$

was einerseits einfach zu zeigen ist und andererseits für Deine Zwecke hier vollkommen genügt.

Die Exponentialfunktion und den Logarithmus würde ich hier jedenfalls auf der Ersatzbank lassen.

15.03.2013, 11:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz von (n^1/n)/(n ^ 2)
Wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]n\to1 \end{eqnarray*}$ bekannt ist, kannst du deine Argumentation beibehalten, ansonsten weißt du nicht, dass $\begin{eqnarray*} \frac{n^{\frac1n}}{n^2} \end{eqnarray*}$ gegen Null geht.

15.03.2013, 11:37

shipwater

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

habt ihr denn schon $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1 \end{eqnarray*}$ gezeigt? Falls ja spricht nichts gegen deine Argumentation.

Gruß Shipwater

15.03.2013, 11:58

Sanguinius

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten. Wir hatten lediglich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to infty} \frac{1}{n} log(n) = 0 \end{eqnarray*}$ während der VL gezeigt. Dann werde ich in der Klausur den Weg über Exp. wählen, wenn das abgefragt wird. Naja, ein bisschen mehr Schreibarbeit, was solls. Tanzen

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz von (n^1/n)/(n ^ 2)

Verwandte Themen