Lineare Unabhängigkeit

15.03.2013, 11:31

Kris_

Lineare Unabhängigkeit

Hallo, liebe Forumsbesucher!

Die nächste Mathe-Übung steht vor der Tür und mir der folgenden Aufgabe komme ich nicht zurecht:

Seien $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass die Vektoren des Vektorraums der reellen Funktionen $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{\mu x} \end{eqnarray*}$ genau dann linear unabhangig sind, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \neq \mu \end{eqnarray*}$ gilt.
Bemerkung: Tatsachlich gilt sogar, dass jede endliche Teilmenge von { $\begin{eqnarray*} e^{\lambda x}:x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ } linear unabhangig ist. . .

Jetzt haben wir das schon in der Vorlesung gehört, aber wie genau kann ich das zeigen?

Vielen lieben Danke!

15.03.2013, 11:41

lgrizu

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Die gleiche Frage haben wir hier noch mal, lies dir den Thread einmal durch, so lang ist er noch nicht, da der Fragesteller sich bisher nicht zurück gemeldet hat. Vielleicht findest du ja einen Lösungsanstoß.

Dann poste in diesem Thread, welche Ideen du hast.

Hier ist er: Beweise lineare Unabhängigkeit bei e-Funktionen

15.03.2013, 20:39

Kris_

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Oh, vielen Dank!

Also ich übernehme mal von TUler und setze Skalare ein:

$\begin{eqnarray*} ae^{\lambda x} + be^{\mu x} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x}(ae^{\lambda} + be^{\mu} )= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x} \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ae^{\lambda} + be^{\mu} = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kann die e-Funktion nie 0 sein, also müssen die Koeffizienten 0 sein -> lineare Unabhängigkeit.

Und weil $\begin{eqnarray*} ae^{\lambda} = -be^{\mu} \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht gleich groß.

Stimmt das soweit?

15.03.2013, 21:44

Mulder

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Zitat:

Original von Kris_
$\begin{eqnarray*} ae^{\lambda x} + be^{\mu x} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x}(ae^{\lambda} + be^{\mu} )= 0 \end{eqnarray*}$

Was hast du denn da gemacht? verwirrt

16.03.2013, 15:09

Kris_

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Ich hab e^x herausgehoben.. geht das denn nicht?

16.03.2013, 15:22

Mulder

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Naja, Potenzgesetze und so...

$\begin{eqnarray*} e^x \cdot e^{\lambda} = e^{x+ \lambda} \neq e^{\lambda x } \end{eqnarray*}$

16.03.2013, 15:55

Kris_

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Ach, verdammt -.-"

Nun ja, damit fällt mein "Beweis" natürlich ins Wasser...
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich das richtig zeigen kann?

16.03.2013, 16:21

Mulder

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Naja, der Ansatz an sich ist nicht komplett falsch. Nur eben korrekt ausklammern. Zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} e^{\mu x} (ae^{(\lambda- \mu)x} +b)=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du mit dem Ausdruck in der Klammer weiter arbeiten.

17.03.2013, 19:28

Kris_

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Ok, danke sehr =)

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