Log Normalverteilte Wahrscheinlichkeit

15.03.2013, 16:19

captainlog

Log Normalverteilte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Die Zufallsvariable X sei lognormalverteilt mit den Parametern m = 5 und s^2 = 36. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(e^(-1) <= X <= e^2).
(m = mi, s = sigma)

Meine Ideen:
Eigentlich alles was man braucht:
$\begin{eqnarray*} P(X \leq e^2) + (1-(P(X \leq e^{-1}))) \end{eqnarray*}$
Für Log-Normalverteilung gilt:
$\begin{eqnarray*} psi(\frac{lnx - m}{s}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} psi(\frac{2-5}{6} + (1-psi(\frac{-1-5}{6} )) \end{eqnarray*}$
Das Problem, das jetzt auftritt, ist, dass die erhaltenen Normalverteilten Werte auf Summe über 1 steigen (also das Ergebnis). Das kann aber nicht ganz sein. Es muss sich wo ein Fehler eingeschlichen haben.
Bitte um Hilfe!
lg

15.03.2013, 18:15

HAL 9000

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RE: Log Normalverteilte Wahrscheinlichkeit

Zitat:

Original von captainlog
$\begin{eqnarray*} psi(\frac{2-5}{6} + (1-psi(\frac{-1-5}{6} )) \end{eqnarray*}$

Nein, beim Minuenden hast du dann gleich die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Berechnungsformel für negative Argumente falsch hereingewurstelt. Hübsch der Reihe nach: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist

$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{2-5}{6}\right) - \Phi\left(\frac{-1-5}{6}\right) = \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) - \Phi\left(-1\right) \end{eqnarray*}$ ,

anschließend kannst du (bei Bedarf) $\begin{eqnarray*} \Phi(-t)=1-\Phi(t) \end{eqnarray*}$ verwenden, wo immer du es benötigen magst.

15.03.2013, 22:54

captainlog

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Naja, aber ist für ein normalverteiltes X die Wahrscheinlichkeit P(c <= X <= 2c) nicht gleich:
P(X <= 2c) + (1 - P(X < c))?

16.03.2013, 07:12

HAL 9000

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Nein, für jede Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ (normalverteilt oder nicht) gilt im Fall $\begin{eqnarray*} c\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 2c) = P(X<c) + P(c\leq X\leq 2c) \end{eqnarray*}$ ,

einfach aufgrund der Additivität von Wahrscheinlichkeiten, was umgestellt dann

$\begin{eqnarray*} P(c\leq X\leq 2c) = P(X\leq 2c) - P(X<c) \end{eqnarray*}$

zur Folge hat. Kein Wunder, dass du mit deiner falschen Formel sinnlose Wahrscheinkeiten >1 erhältst, das ist die zwangsläufige Folge deines hineingemogelten überflüssigen Summanden 1.

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