maximale stetige Fortsetzung

15.03.2013, 17:06

qwertzu

maximale stetige Fortsetzung

Meine Frage:
Hallo.

Gegeben ist die Funktion $\begin{eqnarray*} g: D\subset \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} :,(x,y)\mapsto \frac{\cos{y}-\cos{x}}{x-y} \end{eqnarray*}$ .
Es ist der größte Definitionsbereich zu finden, sowie in welchen Punkten des Randes sich die Funktion stetig fortsetzen lässt und dort ist die maximale stetige Fortsetzung anzugeben.

Meine Ideen:
Der größtmögliche Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2\backslash \{(x,y):x=y\} \end{eqnarray*}$
Doch wie gehe ich an das Problem der stetigen Fortsetzung heran. Rein anschaulich sollte dies ja die Sinusfunktion sein oder?
Eine Überlegung meinerseits wäre gewesen, auf der Gerade $\begin{eqnarray*} y=-x \end{eqnarray*}$ die Grenzwerte von beiden Richtungen aus zu betrachten, jedoch brachte mich dies nicht wirklich weiter.

15.03.2013, 17:21

chris95

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Ich wuerde folgendes Additionstheorem ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} \cos y - \cos x = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Dann wuerde ich $\begin{eqnarray*} x-y = 2 z \end{eqnarray*}$ setzen und dann einfach den Grenzwert $\begin{eqnarray*} z\to 0 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Edit: Der Definitionsbereich stimmt im Uebrigen.

15.03.2013, 17:38

qwertzu

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich kann deiner Vorgehensweise gut folgen, jedoch stehe ich bezüglich einer Sache wohl gerade völlig auf der Leitung.
Wie lässt sich der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z=\frac{x-y}{2} \end{eqnarray*}$ ausdrücken? Ich kann ja wohl kaum $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{x-y}{2}+y=z+y \end{eqnarray*}$ schreiben :S

15.03.2013, 18:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von qwertzu
Wie lässt sich der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} z=\frac{x-y}{2} \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

Ist nicht nötig: Es geht ja um den (zweidimensionalen) Grenzübergang $\begin{eqnarray*} (x,y)\to (x_0,x_0) \end{eqnarray*}$ , und für den gilt offenbar $\begin{eqnarray*} x+y\to 2x_0 \end{eqnarray*}$ , die Stetigkeit des Sinus tut dann das übrige.

15.03.2013, 18:37

qwertzu

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Vielen Dank smile

Jetzt ist mir auch der restliche Weg einleuchtend smile

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