DGL 2. Ordnung in autonomes DGL-System 1. Ordnung

15.03.2013, 22:12

wdposchmann

DGL 2. Ordnung in autonomes DGL-System 1. Ordnung

Hi, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

Zitat:

Folgende DGL 2. Ordnung ist gegeben:

$\begin{eqnarray*} at^2x'' + btx' + cx = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, t > 0 \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Überführen der DGL in ein autonomes (also zeitunabhängiges) System 1. Ordnung.

Meine Idee:

Für die Überführung in ein DGL-System 1. Ordnung bekomme ich folgendes heraus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{c}{at^2} & -\frac{b}{at} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun, wie ich dieses System zeitunabhängig darstellen kann?

Grüße

17.03.2013, 17:20

Che Netzer

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RE: DGL 2. Ordnung in autonomes DGL-System 1. Ordnung
Verwende als erstes $\begin{eqnarray*} y(t):=x(\ln t) \end{eqnarray*}$ , dann erhältst du eine autonome DGL für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

20.03.2013, 18:45

wdposchmann

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RE: DGL 2. Ordnung in autonomes DGL-System 1. Ordnung
Hi,

vielen Dank für deine Antwort. Ich habs jetzt nach einigen Versuchen hinbekommen!

Grüße

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