Normalverteilung/Abweichung

15.03.2013, 23:16

Casio123

Normalverteilung/Abweichung

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe zur Normalverteilung und weiß nicht, wie ich anfangen soll, sie zu lösen:

Es werden 0.5l-Milchflaschen automatisch abgefüllt. Das abgefüllte Volumen ist N(500, 5^2)-verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die eingefüllte Milch überläuft, wenn

(a) das Volumen einer 0.5l-Milchflasche 510 cm^3 beträgt?
(b) das Volumen V der Milchflaschen unabhängig vom abgefüllten Volumen normalverteilt ist mit N(510, 4)?

Zu Teilaufgabe (a): Kann mir jemand einen Denkanstoß geben? Ich bin mir nämlich nicht sicher, was ich mit den 510 cm^3 anfangen soll.

15.03.2013, 23:58

Dopap

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das heisst doch nur, dass die wkt , dass die Milch überläuft :

$\begin{eqnarray*} p(M(m)>\mu + 10) \end{eqnarray*}$ gilt oder

$\begin{eqnarray*} p(\Phi(z) > 2) \end{eqnarray*}$ gilt

M= Milchmengenzufallsvariable
m=Milchmenge
$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ = Standardnormalverteilte Zufallsvariable.

16.03.2013, 10:35

Casio123

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Danke, Dopap! Ich glaube, so müsste es stimmen:
$\begin{eqnarray*} P(Z \ge 510) = 1-P(Z < 510) = 1-\Phi(\frac{510-500}{5}) = 1-\Phi(2) = 1-0.97725 = 0.02275 \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

Und wie würde ich Aufgabenteil (b) angehen? Hier hat man ja zwei Zufallsvariablen. Als Tipp wurde angegeben, dass für 2 normalverteilte ZV X, Y gilt: X + Y ist normalverteilt mit Erwartungswert E(X) + E(Y) und der Varianz V(X) + V(Y).

Das heißt, die Summe der gegebenen ZV wäre normalverteilt mit N(1010, 29). Aber warum addiere ich hier überhaupt?

16.03.2013, 21:37

Dopap

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Zitat:

Original von Casio123
Danke, Dopap! Ich glaube, so müsste es stimmen:
$\begin{eqnarray*} P(Z \ge 510) = 1-P(Z < 510) = 1-\Phi(\frac{510-500}{5}) = 1-\Phi(2) = 1-0.97725 = 0.02275 \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

denke schon.

Zitat:

Und wie würde ich Aufgabenteil (b) angehen? Hier hat man ja zwei Zufallsvariablen. Als Tipp wurde angegeben, dass für 2 normalverteilte ZV X, Y gilt: X + Y ist normalverteilt mit Erwartungswert E(X) + E(Y) und der Varianz V(X) + V(Y).

Das heißt, die Summe der gegebenen ZV wäre normalverteilt mit N(1010, 29). Aber warum addiere ich hier überhaupt?

gute Frage! sehe darin aber keinen Sinn.
Einen Sinn würde ich darin sehen, die Wkt der Überlappung zu berechnen.

Wenn V die ZV des Volumens der Verpackung und
M die ZV des Volumens der Milchmenge ist, dann läuft die Milch über,

wenn M>V ist. Gesucht ist also p(M>V)
das hört sich trivial an, ist aber so und hoffentlich der erste Schritt zur Lösung.

$\begin{eqnarray*} p(M>V)\approx \int_{480}^{540}v(z) \int_z^{540} m(u) \dd u \dd z \end{eqnarray*}$

mit m(x) und v(x) als Dichte. Das als numerischer Ansatz. Die Grenzen sind ausreichend weit gesetzt.

Dafür gibt es aber sicher einen einfacheren Ausdruck, sprich Ansatz.

16.03.2013, 22:50

HAL 9000

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Es geht bei (b) auch einfacher. Zunächst mal übernehme ich die Bezeichnungen

Zitat:

Original von Dopap
Wenn V die ZV des Volumens der Verpackung und
M die ZV des Volumens der Milchmenge ist, dann läuft die Milch über,

wenn M>V ist. Gesucht ist also p(M>V)

Gegeben sind $\begin{eqnarray*} M\sim \mathcal{N}\left(500,5^2\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V\sim \mathcal{N}\left(510,4\right) \end{eqnarray*}$ , wegen der vorausgesetzten Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} V-M = V+(-1)\cdot M \sim \mathcal{N}\left(510+(-1)\cdot 500,4+(-1)^2\cdot 5^2\right) = \mathcal{N}\left(10,29\right) \end{eqnarray*}$ , was die Wahrscheinlichkeitsberechnung $\begin{eqnarray*} P(M>V) = P(V-M<0) \end{eqnarray*}$ ermöglichen sollte.

P.S.: Hab den Beitrag mal editiert, um deine Bezeichnungen zu übernehmen.

16.03.2013, 23:06

Dopap

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besten Dank für den Beitrag und für die Übernahme der ursprünglichen Bezeichner. Freude

16.03.2013, 23:39

Dopap

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für den Fragesteller:

die Idee mit der Summe ist schon in Ordnung, wenn man unter Summe auch die Differenz subsummiert.

was hier aber essentiell ist. Augenzwinkern

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