Ableitung der "Umkehrfunktion" einer Funktion mit mehreren Veränderlichen

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andim86 Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der "Umkehrfunktion" einer Funktion mit mehreren Veränderlichen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

da meine Mathe-Kenntnisse schon etwas eingerostet sind, bitte ich Euch um Rat und wäre über Tipps oder eine Lösung sehr dankbar :-)

Ich habe eine skalare Funktion, sagen wir

f: z = f(x,y).

Als Umkehrfunktion (vorausgesetzt sie existiert), bezeichne ich im Folgenden

g: y = g(x,z).

Das Argument x ist also ein Parameter und der Zusammenhang zwischen z und y soll invertiert werden.

Bsp:
f: z = xy, Umkehrfunktion g: y = z/x

Wie berechne ich nun die partiellen Ableitungen der Umkehrfunktion nach x und z?

Meine Ideen:
Die Ableitung nach z bekomme ich hin. Hier handelt es sich ja um eine Umkehrfunktion im eigentlichen Sinne, sodass gilt

dg/dz = (df/dy)^(-1).

Die Ableitung nach x bereitet mir Probleme. Im Beispiel wäre das dg/dx = -z/x^2. Aber wie könnte man das allgemein in Abhängigkeit von f ausdrücken?
andim86 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach langem rumprobieren bin ich auf

dg/dx = -(df/dx)*(df/dy)^(-1)

gekommen, was mit einigen Beispielfunktionen funktioniert hat. Wär trotzdem cool, wenn das jemand bestätigen könnte - am besten mit einer schönen Herleitung smile
andim86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir nicht ganz sicher ob meine geratene Lösung tatsächlich allgemein richtig ist. Ich suche immernoch nach einer Herleitung. Meine Überlegung sieht momentan so aus:

Die Funktion sei die Umkehrung von bei konstant gehaltenem .

Es gilt also
.

Für die Ableitung nach würde mit der Kettenregel

folgen. Allerdings fehlt da noch der Faktor , was an folgendem Beispiel zu sehen ist:


Beispiel:




Es ist und .

Nach obiger Kettenregel komme ich aber auf
.

Wo ist das Minus hin verwirrt
andim86 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab die Sache jetzt mal erweitert auf eine Abbildung mit der Hilfskoordinate , sodass ich die Geschichte mit der Ableitung der Umkehrfunktion auch auf anwenden kann.
Wie oben gehts immernoch um eine gegebene Funktion , die bezüglich invertiert werden soll. Gesucht sind dann die Ableitungen nach und .

Es sei also
.

Für die Umkehrabbildung


gilt



Und hier kann ich in der unteren Zeile direkt ablesen



Ich denke damit ist mein Problem gelöst. Mich würde aber dennoch interessieren, wo der Fehler bei der Anwendung der Kettenregel ist. Hat das was mit partiellem Ableiten vs. totales Differential zu tun?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne mich hier weiter einbringen zu wollen:
Das sieht so aus, als könntest du den Satz von der impliziten Funktion gebrauchen verwirrt
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