Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.

16.03.2013, 09:26

lagrange92

Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.

Meine Frage:
Ich habe die folgende Aufgabe gemacht:
Welche der folgenden Mengen sind offen bzw. abgeschlossen, welche sind beschränkt?
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ x \in [0,1]|x \in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage ist, ob meine Lösung passt...

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ x \in [0,1]|x \in \mathbb Q\right\}= \left\{ x \in [0,1]|x=\frac{a}{b};|a|\in \mathbb N_0 \wedge b \in \mathbb N \right\} =\left\{ x \in [0,1]|x=\frac{a}{b};a\in \mathbb N_0 \wedge b \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ .
Beschränktheit:
Mit der angegebenen Menge folgt eine untere Schranke gegeben durch 0, wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \wedge b\in[0,1] \Rightarrow \frac{a}{b} =0 \end{eqnarray*}$ .
Nach oben wird die Menge durch 1 beschränkt für $\begin{eqnarray*} a=b \Rightarrow \frac {a}{b}=1 \end{eqnarray*}$ . Der Fall $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ entfällt trivialer Weise und für $\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow \frac{a}{b} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Für den Rest habe ich mir folgendes überlegt:
Somit sind 0 und 1 in der Menge. Für andere Elemente $\begin{eqnarray*} \in Q \end{eqnarray*}$ habe ich mir überlegt, dass sich zu jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ finden lässt mit $\begin{eqnarray*} n>b \Rightarrow \frac{1}{n} <\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ . Wenn man hier mit der Monotonie der Multiplikation argumentiert, bliebe die Bezieghung auch für $\begin{eqnarray*} \frac {a}{n}<\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ erhalten. So dachte ich wäre es möglich zu zeigen, dass jede Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ mindestens ein von x verschidenes Element enthält.
Daraus würde dann folgen, dass die Menge abgeschlossen ist ,weil sie alle ihre Häufungspunkte enthält.

16.03.2013, 09:31

Che Netzer

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Ich hätte die Menge ja eher zu $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb Q:0\leq x\leq1\} \end{eqnarray*}$ umgeschrieben.
In deiner Form wird nicht ersichtlich, wieso die angegebenen Werte tatsächlich Schranken sind.

16.03.2013, 09:38

Leopold

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Deine Argumentation verdunkelt eher die Tatsachen, als daß sie sie erhellt. Die Beschränktheit ist ja in der Definition der Menge bereits vorgegeben: $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Besser geht es ja gar nicht. Die zusätzliche Charakterisierung $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ der Mengenelemente hat für die Beschränktheit überhaupt keine Bedeutung. Da hätte genau so gut jede andere Bedingung stehen können. Deshalb geht es am Kern der Sache vorbei, wenn du jetzt speziell auf die Eigenschaften rationaler Zahlen abhebst. Das wird erst wichtig, wenn es um Offenheit oder Abgeschlossenheit geht.

16.03.2013, 09:51

lagrange92

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.

Zitat:

Original von lagrange92
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ x \in [0,1]|x \in \mathbb Q\right\}= \left\{ x \in [0,1]|x=\frac{a}{b};|a|\in \mathbb N_0 \wedge b \in \mathbb N \right\} =\left\{ x \in [0,1]|x=\frac{a}{b};a\in \mathbb N_0 \wedge b \in \mathbb N \right\} \end{eqnarray*}$ .
Beschränktheit:
Mit der angegebenen Menge folgt eine untere Schranke gegeben durch 0, wenn $\begin{eqnarray*} a=0 \wedge b\in[0,1] \Rightarrow \frac{a}{b} =0 \end{eqnarray*}$ .
Nach oben wird die Menge durch 1 beschränkt für $\begin{eqnarray*} a=b \Rightarrow \frac {a}{b}=1 \end{eqnarray*}$ . Der Fall $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ entfällt trivialer Weise und für $\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow \frac{a}{b} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Abgeschlossenheit:
Somit sind 0 und 1 in der Menge. Für andere Elemente $\begin{eqnarray*} \in Q \end{eqnarray*}$ habe ich mir überlegt, dass sich zu jeder Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n \in N \end{eqnarray*}$ finden lässt mit $\begin{eqnarray*} n>b \Rightarrow \frac{1}{n} <\frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ . Wenn man hier mit der Monotonie der Multiplikation argumentiert, bliebe die Bezieghung auch für $\begin{eqnarray*} \frac {a}{n}<\frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ erhalten. So dachte ich wäre es möglich zu zeigen, dass jede Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x) \end{eqnarray*}$ mindestens ein von x verschidenes Element enthält.
Daraus würde dann folgen, dass die Menge abgeschlossen ist ,weil sie alle ihre Häufungspunkte enthält.

Der letzte Teil war auch für die Abgeschlossenheit gedacht ich habe leider nur nicht sauber genug hervorgehoben. Hammer

Was müsste ich an der Beschränktheit ändern, würde hier die Argumentation über das abgsechlossene Intervall genügen?

16.03.2013, 10:07

Che Netzer

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Um die Beschränktheit nachzuweisen, genügt die Tatsache, dass JEDES $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, auch wenn dabei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist.

Zur hinzueditierten Abgeschlossenheit:
So geht das jedenfalls nicht.
Du willst anscheinend nur zeigen, dass jeder Punkt der Menge ein Häufungspunkt ist, was aber nicht genügt. (und der Beweis dazu überzeugt auch nicht)

16.03.2013, 10:09

lagrange92

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
wie könnte man zeigen, dass jede Umgebung von x ein von x verschiedenes Element enthält?

16.03.2013, 10:11

Che Netzer

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Was ist denn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?
Und Umgebungen von Punkten enthalten (in unserem Fall) immer unendlich viele Elemente, also auch eines vom betrachteten Punkt verschiedenes Augenzwinkern

16.03.2013, 11:10

lagrange92

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Es ist gerade $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , doch habe ich mich gefragt, was passiert eigentlich, wenn ich die $\begin{eqnarray*} U_\epsilon(x) \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an x heranbringe, dann gibt es doch einen Abstand zwischen den Elementen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , durch den kein von x verschiedenes Element mehr in der Umgebung liegt oder, sondern nur noch $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R _{\setminus Q} \end{eqnarray*}$ ?

16.03.2013, 11:58

Che Netzer

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Ich kann nicht ganz nachvollziehen, was du damit meinst, $\begin{eqnarray*} U_\varepsilon(x) \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heranzubringen.
Meinst du $\begin{eqnarray*} \varepsilon\to0 \end{eqnarray*}$ ?
Aber auch für beliebig kleine Umgebungen sind immer noch Punkte aus der Menge enthalten.

Wie auch immer, schreibe mal sauber auf, was du überhaupt wieso zeigen möchtest.

17.03.2013, 15:10

lagrange92

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Zu allererst dache ich, dass es einen minimal kleinen Abstand zwischen den Elementen der rationalen Zahlen gibt, den sonst die irrationalen Zahlen ausfüllen, also $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\setminus Q} \end{eqnarray*}$ .
Somit kann, wenn man $\begin{eqnarray*} \epsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet auch eine Umgebung von einem Punkt x existieren, die keine Elemente der rationalen Zahlen außer x enthält. Was ist hieran falsch?
Ich will Abgeschlossenheit und Beschränktheit zeigen:
Beschränktheit:
Für die Menge kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} B=\left\{x \in [0,1]|x\in \mathbb Q\right\}=\left\{0\leq x \leq1|x\in \mathbb Q\right\} \end{eqnarray*}$ .
Weiter gilt:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Q \Rightarrow x=\frac{a}{b} ;a \in \mathbb N_0 \wedge b \in N \end{eqnarray*}$ .
Aus der neuen Darstellung von B folgt die Beschränktheit direkt, welche durch 0 als Minimum und 1 als Maximum charakterisiert wird.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} a=0 \wedge b \in \mathbb N \Rightarrow \frac {a}{b}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \wedge a=b \Rightarrow \frac{a}{b}=1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$ entfällt und $\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow 0<\frac{a}{b}<1 \end{eqnarray*}$ .
Abgeschlossenheit:
Hier hätte ich jetzt auf alte Weise argumentiert, aber das scheint irgendwie nicht zu passen, daher könntest du mir einen Tipp geben?

17.03.2013, 15:20

RavenOnJ

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.

Zitat:

Original von lagrange92
Zu allererst dache ich, dass es einen minimal kleinen Abstand zwischen den Elementen der rationalen Zahlen gibt, den sonst die irrationalen Zahlen ausfüllen, also $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\setminus Q} \end{eqnarray*}$ .
Somit kann, wenn man $\begin{eqnarray*} \epsilon \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet auch eine Umgebung von einem Punkt x existieren, die keine Elemente der rationalen Zahlen außer x enthält. Was ist hieran falsch?

Tja, alles. $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ liegt dicht in $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ , d.h. in jeder $\begin{align*} \epsilon \end{align*}$ -Umgebung einer Zahl aus $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ befindet sich mindestens eine Zahl aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ . Außerdem ist in jeder Umgebung einer Zahl aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ eine weitere Zahl aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ , ebenso eine aus $\begin{align*} \mathbb R\setminus \mathbb Q \end{align*}$ . Genauer gesagt sind es unendlich viele in beiden Fällen. Man kann es auch anders ausdrücken: Alle Intervalle $\begin{align*} [x,y]\subset \mathbb R \end{align*}$ enthalten unendlich viele Zahlen aus $\begin{align*} \mathbb Q \end{align*}$ und aus $\begin{align*} \mathbb R\setminus \mathbb Q \end{align*}$ .

17.03.2013, 15:22

lagrange92

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RE: Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.
Ok, danke und wie steht es um den zweiten Teil mit der Beschränktheit?

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Beschränkheit und Offenheit oder Abgeschlossenheit.

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