Volumen von Rotationskörper

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16.03.2013, 12:11	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Rotationskörper Meine Frage: Gesucht ist das Volumen des abgebildeten Footballs,der durch Rotation einer Prabel um die x-Achse entsteht.Bestimmen Sie zunächst die Gleichung der Randparabel f. f(x)=ax²+b Meine Ideen: Aus meiner Zeichnung habe ich folgende Punkte gefunden: (5,625/0), (-5,625/0) und (0/3,5)(die Punkte sind ganz sicher richtig). Diese Punkte habe ich in f(x) eingesetzt und f(x)=a0,11²+3,5 rausbekommen. Beim Integrieren bekomme ich folgendes raus $\begin{eqnarray} \int_0^{5.625} \! (a0,11²+3,5)² \, dx \end{eqnarray}$ --> a*0,11^4+0,77a²+12,25.. soweit richtig? Edit opi: Latex editiert
16.03.2013, 12:34	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine angegebene Funktion f(x)=a*0,11^2+3,5 ist nicht richtig! Das Bild der Funktion ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und in Abhängigkeit von a den Abstand zur x-Achse angibt, insbesondere ist diese Funktion alslo keine Parabel. (der y-Achsenabschnitt ist aber richtig)
16.03.2013, 12:36	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen von Rotationskörper Hallo, zwei Fragen vorweg: Was bedeutet das a in Deinem Funktionsterm? Weißt Du, wie Rotationsvolumina berechnet werden?
16.03.2013, 12:42	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist die angegebene Funktion f(x)=a*0,11^2+3,5 nicht richtig? wenn ich in f(x)=ax²+3,5 den Punkt (5,625/0) einsetze bekomme ich nichts anderes raus, als die oben genannte Funktion.. einen Fehler finde ich nicht. Rotationsvolumina berechne ich mit dem Integral, also ja eigentlich weiß ich, wie man die berechnet. Was das a in dem Term bedeutet weiß ich nicht genau.
16.03.2013, 12:48	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige doch mal, wie du diese Funktion errechnet hast (und bitte die "kleinen" Schritte nicht weglassen)
16.03.2013, 13:06	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
f(0)=a5,625²+3,5=0 a5,625=-3,5 a=-3,5/5,625² a=0,11
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16.03.2013, 13:08	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, a=-0,11 müsste es sein oder?
16.03.2013, 13:12	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
kurze Zwischenfrage: War denn schon angegeben, dass die Funktion folgende Gestalt hat f(x)=ax²+c? Denn im Allgemeinen hat eine Parabel die Form f(x)=ax²+bx+c. Du vergisst das Minuszeichen: a=-0,11. Für a=0,11 wäre der Tiefpunkt bei (0, 3,5) und es gäbe keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Okay, wie lautet jetzt die gesuchte Funktionsgleichung? (Beachte, du hast für a einen Wert errechnet)
16.03.2013, 13:17	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Funktionsgleichung f(x)=ax²+b war schon vorgegeben. Oh, wie blöd von mir.. die Funktionsgleichung ist dann f(x)=-0,11x²+3,5
16.03.2013, 13:19	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wie lautet nun die allgemeine Formel für die Berechnung von Rotationskörpern?
16.03.2013, 13:23	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Von einer allgemeinen Formel weiß ich nichts. Wir haben das immer mit dem Integral in der Schule gemacht (vielleicht wollen Sie/willst du aber auch genau darauf hinaus?). Auf jeden Fall hätte ich jetzt von 0 bis 5,625 integriert und dabei erstmal f(x)=a*0,11^2+3,5 quadriert und danach aufgeleitet.
16.03.2013, 13:34	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Grundlagen sind wenigstens vorhanden. Für das Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse mit Nullstellen a,b gilt: $\begin{eqnarray} V=\pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2\,dx \end{eqnarray}$ Du musst dir das so vorstellen: Wir halten einen Funktionswert fest. Wir verbinden diesen mit dem zugehörigen x-Wert, erhalten also eine Strecke. Nun lassen wir diese Strecke um die x-Achse rotieren. Dann erhalten wir doch einen Kreis. Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt: $\begin{eqnarray} A=\pi r^2 \end{eqnarray}$ . Unser Funktionswert entspricht hierbei natürlich dem Radius unseres Kreises. Und nun lässt man nicht nur einen Funktionswert rotieren, sondern alle und hier kommt das Integral ins Spiel. Ich hoffe, das erklärt, wie sich die Formel versteht. Jetzt musst du das eben erklärte nur noch anwenden. Setze, wenn du latex verwendest, die Integrationsgrenzen in diese {...} Klammern
16.03.2013, 13:52	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \pi \int_0^{5,625} \! -0,11x²+3,5 \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \int_0^{5,625} \! (-0,11x²+3,5)² \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \pi \int_0^{5,625} \! 0,11^4-0,77x²+12,25 \, dx \end{eqnarray}$ stimmt das soweit?
16.03.2013, 14:00	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Lies dir nochmal meinen Post durch? Wenn du von null bis 5,625 integriest hättest du das Volumen von nem halben Football! (Falls du nen graphischen TR hast, lass dir die Funktion mal zeichnen) Und was du niedergeschrieben hast sind lediglich Terme. Da besteht kein Zusammenhang erstmal, weil die Gleichheitszeichen fehlen. Außerdem ist mir nicht klar, was von der ersten zur zweiten Zeile passiert ist. Du quadrierst einfach. Das ist keine äquivalente Umformung. Vielmehr ist die erste Zeile überflüssig, die zweite richtig und in der dritten hast du die binomische Formel nicht richtig angewendet. +Bitte sauber und geduldig arbeiten
16.03.2013, 14:12	Bananenmilch	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich integriere erst von 0 bis 5,625 und will dann am Ende das Ergebnis mal 2 rechnen, weil da so einfacher ist. Ich quadriere in der zweiten Zeile den Term, aufgrund des r² in der Flächeninhaltsformel von einem Kreis. Nun zur binomischen Formel:a²+2ab+b². (-0,11x²)² =-0,11x^4 -0,11x²3,52=-0,77² und schließlich 3,5²=12,25 folglich $\begin{eqnarray} \pi \int_0^{5,625} \! -0,11^4-0,77x²+12,25 \, dx \end{eqnarray}$ Ich finde meinen Fehler nicht..
16.03.2013, 14:26	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann aber direkt $\begin{eqnarray} 2\pi ... \end{eqnarray}$ . Dein 2ab ist falsch! aber in der Funktion wieder richtig eingesetzt, aber dafür das x^4 vergessen

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