Symmetrische Bilinearform Definitheit

16.03.2013, 12:51

Gast12391

Symmetrische Bilinearform Definitheit

Meine Frage:
Hallo,
ich hänge gerade an folgenden beiden Aufgaben und komme nicht wirklich weiter...
[attach]29103[/attach]

Meine Ideen:
(a) Weil die Bilinearform symmetrisch und positiv definit ist, sieht die Darstellungsmatrix A irgendwie so aus:
$\begin{eqnarray*} a_{ij}>0 \ \forall i=j \end{eqnarray*}$ , also positive Einträge auf der Diagonalen
$\begin{eqnarray*} a_{ij}=a_{ji} \end{eqnarray*}$ , also symmetrisch

Mit dem Hauptminorenkriterium komme ich irgendwie nicht wirklich weiter, weil ich nicht weiß, was in den Einträgen steht, die nicht auf der Diagonalen sind.
Kann ich irgendwie argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} x^{t}Ax>0 \ \forall x\neq 0\ \end{eqnarray*}$ ? Aber auch hier machen mir die übrigen Einträge irgendwie wieder Probleme.

(b) Aus den Voraussetzungen folgt glaube ich:
$\begin{eqnarray*} B=S^{t}AS=S^{t}A^{t}S=B^{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=S^{t}BS=S^{t}B^{t}S=A^{t} \end{eqnarray*}$

Kann ich damit irgendwas anfangen?

Danke schonmal!

18.03.2013, 19:28

Gast12391

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Weiß das leider niemand hier?

18.03.2013, 20:12

Reksilat

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RE: Symmetrische Bilinearform Definitheit
Zu a):
Schreib doch einfach mal die Definitionen auf.
Wann ist eine Matrix positiv definit?
Wann ist es eine Bilinearform?
Was ist der Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{\mathcal B}(\beta) \end{eqnarray*}$ ?
Mehr ist da eigentlich nicht zu machen.

Zu b):
Sei $\begin{eqnarray*} A>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B=S^tAB \end{eqnarray*}$ . Wir wollen nun zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} B>0 \end{eqnarray*}$ ist. Sei also $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ . Nun betrachte mal $\begin{eqnarray*} v^tBv \end{eqnarray*}$ ...

Gruß
Reksilat

19.03.2013, 10:02

Gast12391

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RE: Symmetrische Bilinearform Definitheit
Hallo,
danke für die Antwort! Hierwas ich weiß, allerdings sehe ich den Zusammenhang nicht so richtig.

Zu (a)
(1) $\begin{eqnarray*} \beta>0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} \beta (x,x)>0 \ \forall x\neq 0 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} M_{B}(\beta) \end{eqnarray*}$ hat die Einträge $\begin{eqnarray*} a_{ij}=\beta (b_{i},b_{j}) \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} \beta>0 \end{eqnarray*}$ stehen auf der Diagonalen nur positive Einträge und für die anderen gilt wegen der Symmetrie ohnehin schon $\begin{eqnarray*} a_{ij}=a_{ji} \end{eqnarray*}$

(3) Die Matrix $\begin{eqnarray*} M_{B}(\beta) \end{eqnarray*}$ ist positiv definit, wenn die zugehörige Bilinearform $\begin{eqnarray*} \beta_{M_{B}(\beta)} \end{eqnarray*}$ pos definit, also $\begin{eqnarray*} x^{t}M_{B}(\beta)x=\sum_{j=0}^n x_{j} \sum_{i=0}^n x_{i}a_{ij}>0 \ \forall x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Für n=2 z.B. muss also $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}a_{11}+2a_{12}x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}a_{22}>0 \end{eqnarray*}$ sein, weil beta ja symmetrisch. Dass der erste und dritte Summand positiv sind, ist klar, wenn beta positiv def ist. Aber was ist mit dem zweiten?

19.03.2013, 12:36

Reksilat

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RE: Symmetrische Bilinearform Definitheit

Zitat:

Für n=2 z.B. muss also $\begin{eqnarray*} x_{1}^{2}a_{11}+2a_{12}x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}a_{22}>0 \end{eqnarray*}$ sein, weil beta ja symmetrisch. Dass der erste und dritte Summand positiv sind, ist klar, wenn beta positiv def ist. Aber was ist mit dem zweiten?

Versteife Dich nicht auf die einzelnen Koeffizienten. Der zweite Summand kann durchaus negativ sein. So ist $\begin{eqnarray*} x_1^2-x_1x_2+x_2^2 \end{eqnarray*}$ positiv definit.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} M_{B}(\beta) \end{eqnarray*}$ hat die Einträge $\begin{eqnarray*} a_{ij}=\beta (b_{i},b_{j}) \end{eqnarray*}$ .

Ja, und wenn Du Dir jetzt einen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nimmst, so hat dieser bzgl. der Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ die Darstellung $\begin{eqnarray*} x=(x_1,...,x_n)^t=\sum x_ib_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_i\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Mit dieser Darstellung kann man sehen, dass $\begin{eqnarray*} \beta(x,x)=x^TM_{\mathcal B}(\beta)x \end{eqnarray*}$ ist und die Behauptung ist gezeigt.
Allgemein gilt sogar $\begin{eqnarray*} \beta(x,y)=x^TM_{\mathcal B}(\beta)y \end{eqnarray*}$

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