Beweis: unendlich viele Primzahlen durch Primzahlsatz

16.03.2013, 17:09	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: unendlich viele Primzahlen durch Primzahlsatz Hallo, ich möchte gerne zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, und dabei den Primzahlsatz verwenden. Ich weiß, das ist mit Kanonen auf Spatzen geschossen - möchte das aber trotzdem gerne mal so beweisen.. Der Primzahlsatz sagt $\begin{eqnarray} \lim_{x \Rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln (x)}}=1 \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} \pi (x) \end{eqnarray}$ die Anzahlfunktion der Primzahlen. Der Primzahlsatz gibt also an, dass die Anzahl der Primzahlen ungefähr so schnell steigt, wie die Funktion $\begin{eqnarray} \frac{x}{ln(x)} \end{eqnarray}$ . Um zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, ist also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{x}{ln(x)} \end{eqnarray}$ ins Unendliche steigt. Mein Problem ist es, das richtig formal anzugehen. Klar, x wächst schneller als ln x und damit wird der Bruch immer größer, je größer x wird. Aber mir ist das irgendwie ein wenig ungenau. Könnte ich das nicht genauer zeigen? Vielleicht irgendwie mit Abschätzungen oder so? Würde mich über Hilfe sehr freuen lg duude
16.03.2013, 17:24	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass die Folge x/ln(x) ins Unendliche läuft, kannst du mit l'Hôspital sehen.
17.03.2013, 12:07	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \rightarrow \infty} x \end{eqnarray}$ . Und für x gegen unendlich geht das auch gegen unendlich. Also ist $\begin{eqnarray} \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \infty \end{eqnarray}$ bestimmt divergent und es darf die Regen von l'Hospital angewendet werden. Es folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}= \infty \end{eqnarray}$ . Wegen des Primzahlsatzes muss auch die Anzahlfunktion der Primzahlen divergieren und es folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Ist das richtig so?

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