Ist diese Formel richtig? |
| 16.03.2013, 18:32 | TNT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ist diese Formel richtig? Hallo zusammen, durch ein Problem aus der Aquaristik (Wasserchemie) bin ich auf folgende Frage gekommen: Beim wöchentlichen Wasserwechsel wird immer ein bestimmter Prozentsatz (z.B. 40 %) des alten Aquarienwassers durch neues Wasser ersetzt. An "altem" Wasser bleiben dann p % zurück (z.B. p = 60). Anschließend wird dem Aquarium jedes Mal eine bestimmte Menge m an Huminsäure zugegeben (z.B. 1 ml). Da die Huminsäurekonzentration im Aquarium nicht zu hoch werden darf (das Wasser wird sonst zu sauer), suchte ich nach einer Formel, mit der man ausrechnen kann, wie groß die Huminsäuremenge im Aquarium nach n Wasserwechseln ist. Jetzt wollte ich fragen, ob die folgende Formel zur Berechnung der Huminsäuremenge nach n Wasserwechseln richtig ist: Meine Ideen: Nach Einrichtung des Aquariums setzt man dem Wasser die Menge m an Huminsäure (HS) zu. Beim 1. Wasserwechsel (Ww) bleiben p % des alten Wassers im Aquarium zurück. Anschließend wird wieder die Menge m an HS zugesetzt. Im Aquarium befindet sich jetzt die folgende HS-Menge: (p/100)* m + m = m * (1 + p/100) Diese Menge nenne ich m1. Zahlenbsp. für p = 60: m1 = (60/100) * m + m = m * (1 + 60/100) = 1,6 * m Beim 2. Ww bleiben wieder p % des alten Wassers im Aquarium zurück. Im Aquarium verbleiben (p/100) * m1 an HS. Danach wird wieder die Menge m an HS in`s Aqu. gegeben. Nach dem 2. Ww ist also folgende HS-Menge im Wasser: (p/100) * m1 + m = (p/100) * m * (1 + p/100) + m Diesen Wert nenne ich m2. m2 = m * ((p/100) * (1 + p/100) + 1) m2 = m * (1 + p/100 + (p/100)^2) Zahlenbsp. für p = 60 m2 = m * (1 + 0,6 + 0,6^2) Wenn man das so weiterführt, erhält man nach n Ww folgende HS-Menge im Aquarium: m * (1 + p/100 + (p/100)^2 + (p/100)^3 + ... + (p/100)^n) Mit Summenzeichen geschrieben wäre das: m * (Summe aller (p/100)^k von k = 0 bis k = n) Mit dem Zahlenbsp. für p = 60 wäre das nach n = 10 Wasserwechseln die folgende Menge an HS: m * (1 + p/100 + (p/100)^2 + (p/100)^3 + ... + (p/100)^10) = m * (1 + 0,6+ 0,6^2 + 0,6^3 + ... + 0,6^10) = 2,4909 * m also ca. die 2,5 fache Menge der Anfangsdosis m. Nach n = 20 Ww erhalte ich mit dieser Formel 2,4999... * m Konvergiert der Faktor vor m gegen 2,5 ??? Meiner Meinung nach nicht, denn der Zuwachs an HS im Aquarium wird zwar immer kleiner, denn lim (p/100)^n für n gegen Unendlich ist gleich 0, wenn 0< p <100. Da aber bei jedem Ww immer ein bißchen HS mehr im Aquarium bleibt, nimmt die HS Menge im Aqu. bis Unendlich zu - wenn auch sehr, sehr langsam. Stimmt die Berechnungsformel, die ich oben hergeleitet habe? Ist es richtig, daß der Faktor vor m NICHT gegen 2,5 konvergiert, sondern gegen Unendlich? Viele Grüße und einen schönen Sonntag! |
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| 16.03.2013, 18:44 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unendlich ??? wie soll das gehen? Anderstherum: fang mal mit reinem HS an, dann erfolgt eine Folge von Verdünnungen, die immer langsamer werden. Das spricht doch dafür, dass beide Folgen sich "treffen" Für diese geometrische Reihe gibt es eine Formel, auch für n nach unendlich sofern dein Ansatz stimmt. Schau mal nach. |
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| 17.03.2013, 07:50 | TNT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Habe ich leider noch nicht verstanden Hallo, ja, da habe ich einen Denkfehler gemacht: Die Menge an HS kann nicht gegen Unendlich gehen, denn das Aquarium hat ja ein begrenztes Volumen und mehr HS als in das Aquarium paßt kann deshalb auch nie im Aquarium sein. Ist 2,5 * m dann doch der Grenzwert, der nie überschritten wird? Ist die Formel zur Berechnung dieses Problems m * (1 + p/100 + (p/100)^2 + (p/100)^3 + ... + (p/100)^n) richtig oder falsch??? Aus der Zinseszinsrechnung kenne ich eine Formel für eine geometrische Reihe: Kapital nach n Jahren = Anfangskapital * (1 + p/100)^n Aber diese Formel gilt doch nicht für das "Aquariumproblem", oder? Viele Grüße |
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| 17.03.2013, 22:12 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Habe ich leider noch nicht verstanden
Deine Fomal ist schon richtig. Aus der Zinseszinsrechnung kenne ich eine Formel für eine geometrische Reihe: Kapital nach n Jahren = Anfangskapital * (1 + p/100)^n Das ist keine geometrische Reihe. Aber diese Formel gilt doch nicht für das "Aquariumproblem", oder? Gilt nicht. Die Formel für die geometrische Reihe ist |
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| 18.03.2013, 08:19 | TNT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Habe ich leider noch nicht verstanden Super, vielen Dank für Deine Hilfe 
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