Extrempunkte / Ortskurve der HP

20.02.2007, 16:29

Linea

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Extrempunkte / Ortskurve der HP

hallo,

ich möchte gerade die extrempunkte einer funktionenschar berechnen. dafür habe ich jetzt schon die erste ableitung gebildet.

fa(x)= -1/a e^(-x²+(a/2)x)

f'a(x)= -1/a e^(-x²+(a/2)x) * (-2x+a/2)

Ich wis jetzt nicht ob ich -1/a mit auklammer kann und die fakorregel anwenden kann?

Danach soll ich die Ortskurve der HP bestimmt

20.02.2007, 16:33

Linea

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die 2. ableitung hab ich auch schon berechnet.

sie lautet f''a(x)= ( e^(1/2*(a-2x)) * (a² - 8xa+ 16x² -8 )) / 4a

in dieser müsste ich dann ja die punkte einsetzen

20.02.2007, 17:33

Dorika

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jetzt erstmal schön mit latex.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{a}e^{\frac{1}{2}(a-2x)}\cdot\frac{(a^{2}-8ax+16x^{2}-8)}{4a} \end{eqnarray*}$

wie wärs zuerst mal mit einem definitionsbereich?

20.02.2007, 17:46

Linea

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Das sieht doch gleich besser aus als meins =)

hab ich ganz vergessen zu erwähnen:

20.02.2007, 17:52

Dorika

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hey, deine 1.abl passt.

ich hab nur e^(bla) ausgeklammer

was hast du für ein ergebnis?
oder rechenschritte?

20.02.2007, 18:08

Linea

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das ist ein bisschen komisch. der parameter a müsste ja in den punkt dann noch vorhanden sein?

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20.02.2007, 18:10

Musti

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Meinst du für die Ortskurve der Extrempunkte?

Nicht unbedingt! Es kann auch sein dass ein Extrempunkt nur nach oben unten rechts oder links verchoben ist. Dafür brauchst du dann den Parameter a nicht mehr.

20.02.2007, 18:15

Dorika

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hey

ich hab beide "werte" in abhängigkeit von a Augenzwinkern

Augenzwinkern

und ich denkne, die 2. ableitung ist falsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

kann das sein?

20.02.2007, 18:16

Musti

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Also ohne Latex weiß ich nicht was Linea`s 2te Ableitung ist.

@Linea vielleicht benutzt du nochmal den Formeleditor und schreibst deine 2te Ableitung auf.

20.02.2007, 18:20

Dorika

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@musti: lineas 2.ableitung ist die, die ich (versehetlich) in latex geschrieben hab.

hast ne pn

20.02.2007, 18:28

Musti

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also ich hab auch was anderes für die 2te Ableitung.

Wie wäre es wenn du uns deine Rechenschritte zeigst

20.02.2007, 18:33

Musti

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Dorika deine Ortskurve stimmt! Freude

Freude

Edit: Die du mir per PN geschickt hast

20.02.2007, 18:37

Dorika

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prima,
wie wär es jetzt mit der 2.ableitung?
benutze dazu die produkt-und die kettenregel Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.02.2007, 15:00

Linea

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also nochmal,
danke schon mal für eure tipps.

die zweite ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)= - \frac{ \frac{1}{2}*e^{\frac{1}{2}(a-2x)x}(a-4x)²-4*e^{\frac{1}{2}(a-2x)x}}{2a} \end{eqnarray*}$

ich hoffe sie stimmt jetzt.

x1 ist bei mir 0
und x2= 1/4 ??? kann das stimmen?

21.02.2007, 15:33

Linea

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sry muss mich verbessern. x1 ist nicht 0 sonder entfällt. da e^... n. def.

21.02.2007, 20:56

mYthos

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Tut mir leid, Leute, jetzt muss ich eingreifen! So einen wirren Thread habe ich selten gesehen. Abgesehen davon, dass da ausser Linea's 1. Ableitung überhaupt nichts stimmt - weder die 1. noch die 2. Ableitung - werden pn's gesendet, wovon der Threadstarter nichts hat, und dann, offensichtlich wegen eigener Unsicherheit, die Diskussion seit einigen Stunden ohne Antwort gelassen. Das ist ein Beispiel, wie es NICHT sein sollte.

Für die Ortskurve der Extrempunkte braucht man nicht unbedingt die 2. Ableitung. Es wäre schön, wenn wenigstens die 1. Ableitung stimmen würde. Hat die schon wer mal Null gesetzt, um die Extremstelle zu ermitteln?

Die richtige 1. Ableitung will ich angeben, damit mal ein Ansatzpunkt da ist:

$\begin{eqnarray*} f_a '(x) = \frac{e^{\frac{ax}{2}-x^2} \cdot (4x-a)}{2a} \end{eqnarray*}$

Wenn es wer nicht mitbekommt, wie diese zustandegekommen ist, dem erkläre ich sie gerne.

Wenn die Extremstelle (x) bekannt ist, kann man diese in $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ einsetzen, dann hat man den y-Wert. Wenn man zwischen diesen beiden - x und y - eine Beziehung herstellt, in der der Parameter a eliminiert wird, stellt diese bereits die Gleichung der gesuchten Ortskurve dar.

@Linea, kannst du mal von da an weiterrechnen? Bei Problemem bitte konkret nachfragen.

Zitat:

Original von Dorika
jetzt erstmal schön mit latex.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{1}{a}e^{\frac{1}{2}(a-2x)}\cdot\frac{(a^{2}-8ax+16x^{2}-8)}{4a} \end{eqnarray*}$

wie wärs zuerst mal mit einem definitionsbereich?

Da blick' ich überhaupt nicht durch!

Zitat:

Original von Linea
also nochmal,
danke schon mal für eure tipps.

die zweite ableitung: $\begin{eqnarray*} f''(x)= - \frac{ \frac{1}{2}*e^{\frac{1}{2}(a-2x)x}(a-4x)²-4*e^{\frac{1}{2}(a-2x)x}}{2a} \end{eqnarray*}$

ich hoffe sie stimmt jetzt.

x1 ist bei mir 0
und x2= 1/4 ??? kann das stimmen?

Und da noch weniger! Leider!

mY+

21.02.2007, 21:20

Musti

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@Mythos

Du hast recht dieser Thread ist wirklich sehr verwirrend aber weder Dorika noch ich haben außer zu Lineas erster Ableitung etwas bestätigt.

Anscheinend hatte Dorika Lust diese Aufgabe selbst zu lösen und hat mich deshalb per PN gefragt.

Da ich manchmal aus irgendeinem Grunde keine Pn's verschicken kann habe ich auf ihre Lösung geantwortet.

Sie hat mir ihre Lösungen per PN geschickt, damit der Threadsteller nicht einfach mal eben abschreiben kann und sich damit die Sache erledigt hat.

Dieser Thread ist meiner Meinung nach in erster Linie sehr verwirrend, da Linea sowohl den Formeleditor als auch Latex nicht benutzt hat.
Außerdem hat sie die Klammern nicht immer sauber gesetzt.

Deshalb finde ich deine Intervention an dieser Stelle ok!

Gruß Musti Wink

Wink

21.02.2007, 21:20

Linea

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OK,

ich habe jetzt die erste ableitung 0 gesetzt um auf den EP zu kommen.

ich erhalte $\begin{eqnarray*} x=\frac{a}{4} \end{eqnarray*}$

um auf den y wert zu kommen habe ich diesen in fa eingesetzt und $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{a} e^{-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$ erhalten.

ist das soweit richtig ?

21.02.2007, 21:24

mYthos

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Hallo Linea,

die Extremstelle (x) ist richtig! Für dein y kann ich mich allerdings nicht erwärmen! Der Exponent stimmt nicht! Wie hast du das gerechnet?

mY+

21.02.2007, 21:33

Linea

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möglicherweise hab ich dann falsch vereinfacht.

meine ausgangfunktion ist

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{a} e^{\frac{a}{4}^2+ \frac{a}{2}*\frac{a}{4} } \end{eqnarray*}$

ich habe versucht den exponenten zusammen zu fassen. war mir auch nicht so sicher ob man dies so einfach machen kann. wie sollte ich weiter verfahren?

21.02.2007, 21:43

mYthos

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Zitat:

Original von Linea
möglicherweise hab ich dann falsch vereinfacht.

meine ausgangfunktion ist

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{a} e^{\frac{a}{4}^2+ \frac{a}{2}*\frac{a}{4} } \end{eqnarray*}$

ich habe versucht den exponenten zusammen zu fassen. war mir auch nicht so sicher ob man dies so einfach machen kann. wie sollte ich weiter verfahren?

Wenn du in $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = \frac{a}{4} \end{eqnarray*}$ einsetzt, bleibt das Minus erhalten, weil es vor dem Quadrat steht! Und statt 4 muss im Nenner 16 stehen, ausser du hast das Quadrat gemeint und nicht geklammert.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=-\frac{1}{a} e^{-\frac{a^2}{16}+\frac{a}{2}*\frac{a}{4}} = \ldots \end{eqnarray*}$

Im Exponenten zusammenfassen, ist der richtige Weg.

mY+

21.02.2007, 21:57

Linea

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das mit dem minus war jetzt ein fehler den ich hier vergessen hatte. ich habe jetzt den exponenten noch einmal berechnet und komme jetzt auf

Exponent: $\begin{eqnarray*} \frac{a²}{16} \end{eqnarray*}$

21.02.2007, 22:07

mYthos

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Super, stimmt jetzt smile

smile

Weisst du nun weiter? Sh. was ich zuvor geschrieben habe ...

mY+

21.02.2007, 22:25

Linea

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Nun also zur ortskurve:

ich habe den x-wert nach a umgestellt und erhalte a = 4x diesen setze ich im y-wert des EP ein.

ich erhalte: $\begin{eqnarray*} y=-\frac{1}{4}x e^{\frac{x²}{4} } \end{eqnarray*}$ ich hoffe dies ist so richtig und die gesuchte ortskurve.

gibt es jetzt eigentlich nur einen EP? brauche ich jetzt doch die zweite ableitung um seine art zu bestimmen?

21.02.2007, 22:36

mYthos

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Da a = 4x gilt, ist

$\begin{eqnarray*} f_{Ortsk}(x) = -\frac{1}{4x} \cdot e^{x^2} \end{eqnarray*}$

Zumindest habe ich das so, rechne dies bitte nochmals nach!

Und: Ja, du brauchst (nur) das Vorzeichen der 2. Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = \frac{a}{4} \end{eqnarray*}$ , um die Art des Extremums zu bestimmen.

mY+

21.02.2007, 22:44

Musti

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@Mythos

du hast es schon richtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

. War ja auch nciht anders zu erwarten smile

smile

@Linea

Wie Mythos schon sagte: Rechne das trotzdem nochmal nach.

21.02.2007, 22:54

Linea

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ich habe es noch einmal nachgerechnet. jetzt habe ich auch wie mythos das ergebnis herausbekommen. ich hatte nur vergessen die 4 zu quadrieren.

da die 2. ableitung - .... ist wird der term < 0 werden. somit dürft es sich um einen HP handeln und meine fragen sind geklärt. vielen dank

21.02.2007, 22:58

mYthos

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Du musst aber schon die Stelle (a > 0) überall einsetzen, allerdings genügt es, das Vorzeichen festzustellen, also sind keine Werte direkt auszurechnen.

mY+

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