Summe cos

16.03.2013, 18:57

Viriditas

Summe cos

Hallo, ich muss zeigen dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n cos(kx) = \frac{sin((2n+1)\frac{x}{2})} {2sin(\frac{x}{2} )} \end{eqnarray*}$

mit n aus N, x aus den reellen Zahlen, wobei x != 2*Pi*k, k aus den ganzen Zahlen

Als Hinweis soll ich mir $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) \end{eqnarray*}$ ansehen.

Na ja, $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) \end{eqnarray*}$ ist ja eine geometrische Reihe, also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) = \frac{1-exp(i(n+1)x)}{1-exp(ix)}) \end{eqnarray*}$
Den Bruch erweitere ich und ich erhalte dann, unter der Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} sin(z)=\frac{1}{2i}*(exp(iz)-exp(-iz)) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) = \frac{exp(-i\frac{x}{2})-exp(-i(2n+1)\frac{x}{2})}{-2isin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Aber hier hänge ich. Der Nenner sieht ja schon gut aus, aber beim Rest bin ich fraglos.

Danke im Voraus!

16.03.2013, 19:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Jetzt bilde den Realteil und ziehe noch Eins ab.

16.03.2013, 20:24

Viriditas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Wie kann ich davon einfach den Realteil bilden?

Ich weiß, dass ich bei der Summe von Cosinus nur die Realteile habe und deshalb eben auch auf der rechten Seite die imaginären Zahlen verschwinden lassen muss.

Aber wie mache ich das bei diesem Bruch?

Normalerweise kann man ja eine komplexe Zahl mit seiner konjugiert komplexen multiplizieren, damit der Im-Teil wegfällt, aber da ist mir das nicht ganz schlüssig.

EDIT: In der Angabe habe ich übrigens einen Fehler gemacht, zur Summe von Cosinus wird noch 1/2 addiert, damit die Gleichung stimmt.

16.03.2013, 20:46

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Benutze im Zähler die Eulersche Formel, sortiere dann nach Imaginär- und Realteil.

16.03.2013, 21:14

Viriditas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Ok, sortiert ergibt das:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) = \frac{cos(-\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2}(2n+1))+isin(\frac{x}{2})-isin(\frac{x}{2}(2n+1)}{-2isin(\frac{x}{2}))} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste es doch irgendwelche verwendbaren Aditionstheoreme geben, oder?

16.03.2013, 21:51

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Brauchst du nicht.
Aber sortiere das ganze mal richtig, d.h. bringe es in die Form $\begin{eqnarray*} a+b\mathrm i \end{eqnarray*}$ . (falls nicht bekannt: $\begin{eqnarray*} \frac1{\mathrm i}=-\mathrm i \end{eqnarray*}$ )

16.03.2013, 22:02

Viriditas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Danke, damit erhalte ich also: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) = \frac{sin(\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2}(2n+1))-i*[cos(-\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2}(2n+1))]} {-2sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Da mich der Realteil interessiert, kann ich nun -i*[...] einfach vernachlässigen?

16.03.2013, 22:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Ja, zumindest beim Bilden/Betrachten des Realteils.
Jetzt musst du davon noch $\begin{eqnarray*} \frac12 \end{eqnarray*}$ abziehen.

Ach ja, und dir dürfte ein Minus verloren gegangen sein verwirrt

16.03.2013, 22:19

Viriditas

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Danke! smile

Ja das mit dem Abziehen habe ich dann auch sofort gesehen.

Meinst du das Minus im ersten Sinus-Term?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n exp(ikx) = \frac{sin(-\frac{x}{2})-sin(\frac{x}{2}(2n+1))-i*[cos(-\frac{x}{2})-cos(\frac{x}{2}(2n+1))]} {-2sin(\frac{x}{2})} \end{eqnarray*}$

Für einen Moment wurde ich unsicher, aber das geht sich ja so trotzdem wieder aus, denn $\begin{eqnarray*} sin(-\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} sin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$ ist ja -1. smile

Danke für deine Hilfe, ich schreibe das Morgen ins Reine.

Nur noch eine Frage.

Ich kann ja sagen, dass 1/2 plus die Summe von cos(kx) ja der Realteil der Summe von exp(ikx) ist. Das ist auch der Grund, warum ich mir nur den Realteil der letzteren Summe ansehe und diese also gleich der anderen Summe + 1/2 setzen kann, richtig? smile

16.03.2013, 22:35

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Ah, das Minus im Argument vom Sinus war eben noch nicht da; damit stimmt es wieder.

Zur letzten Frage:
Naja, es ist
$\begin{eqnarray*} \frac12+\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^n\mathrm e^{\mathrm ikx}-\frac12\right)=\operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^n\mathrm e^{\mathrm ikx}\right)-\frac12\,, \end{eqnarray*}$
wenn du das meinst.

16.03.2013, 23:29

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Egal wie ich rechne, bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n e^{ikx} = \frac{e^{i(n+1)x}-1}{e^{ix}-1} = \frac{e^{i(n+1)x}-1}{2i\sin(\frac x 2)e^{i\frac x 2}}= \frac{e^{i(2n+1)\frac x 2}-e^{-i\frac x 2}}{2i\sin(\frac x 2)} \end{eqnarray*}$

Davon der Realteil ergibt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}\Big(\sum\limits_{k=0}^n e^{ikx}\Big) = \frac{\sin((2n+1)\frac x 2)}{2\sin(\frac x 2)} +\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Daraus wiederum ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \cos(kx) = \operatorname{Re}\Big(\sum\limits_{k=0}^n e^{ikx}\Big) -1 = \frac{\sin((2n+1)\frac x 2)}{2\sin(\frac x 2)}{\color{blue} -\frac 1 2} \end{eqnarray*}$

16.03.2013, 23:31

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Summe cos
Stimmt auch Augenzwinkern

Zitat:

Original von Viriditas
EDIT: In der Angabe habe ich übrigens einen Fehler gemacht, zur Summe von Cosinus wird noch 1/2 addiert, damit die Gleichung stimmt.

16.03.2013, 23:33

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist aber die Behauptung aus Post 1 falsch.

EDIT: Hab gerade das edit des Threaderstellers entdeckt. Da hätte ich mir ja die Mühe sparen können ... Augenzwinkern

16.03.2013, 23:36

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, deshalb wurde sie auch korrigiert, habe ich doch eben zitiert.

Edit: Ah, ich habe gerade deinen Edit bemerkt, dass du den anderen Edit bemerkt hast Augenzwinkern

PS: Heißt es eigentlich der oder das Edit? verwirrt

16.03.2013, 23:38

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer

PS: Heißt es eigentlich der oder das Edit? verwirrt

Keine Ahnung! Heißt es der Post oder das Post? Heißt es der Bobbycar oder das Bobbycar?

Edit: Wahrscheinlich das Post(ing). Und angeblich das Bobbycar, obwohl ich das idiotisch finde.

Neue Frage »

Antworten »

Summe cos

Verwandte Themen