Exponentialverteilung und ZGWS

16.03.2013, 21:09	Casio123	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialverteilung und ZGWS Hallo, ich bereite mich gerade auf eine Prüfung vor und habe eine Frage zu einer Aufgabe mit der Exponentialverteilung. Die Aufgabe lautet: Vor einem Flugschalter warten 36 Personen. Aufgrund früherer Beobachtungen kann angenommen werden, dass die Abfertigungsdauer $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ pro Person (in Minuten) unabhängig und exponentialverteilt mit $\begin{eqnarray} E(X_i)=1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} i=1,2,...,36 \end{eqnarray}$ ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Gesamtabfertigung mehr als 42 Minuten betragen? Meine Idee dazu: Ich habe versucht, den zentralen Grenzwertsatz anzuwenden (wobei ich mir nicht sicher bin, weil die Menge von 36 Personen ja recht klein ist). Der Erwartungswert ist für alle ZV 1, das heißt, das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Exponentialverteilung ist 1, also auch die Varianz. Daraus folgt, dass der Erwartungswert der Summe aller $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ folgender ist: $\begin{eqnarray} E(Z)=E(X_1 + X_2 + ... + X_{36})=36 \end{eqnarray}$ . Das gleiche gilt für die Varianz, also $\begin{eqnarray} Var(Z)=361=36 \end{eqnarray}$ . Jetzt will ich berechnen: $\begin{eqnarray} P(Z \ge 42)=1-P(Z < 42)=1-\Phi(\frac{42-36}{36})=1-\Phi(0.166) \end{eqnarray*}$ Ist der Ansatz überhaupt richtig und gibt es noch eine andere Möglichkeit, das zu berechnen?
16.03.2013, 21:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das alte Leiden: Standardabweichung und Varianz verwechselt! Und zwar hier: $\begin{eqnarray} \ldots =1-\Phi(\frac{42-36}{\sqrt{36}}) \end{eqnarray}$ Wenn du dir nicht sicher bist, ob die Approximation per ZGWS schon tragbar ist, dann rechne doch zum Vergleich mal mit der exakten Summenverteilung: Das ist $\begin{eqnarray} Z\sim \operatorname{Erl}(1,36) = \gamma(36,1) \end{eqnarray}$ , siehe Erlang- bzw. Gammaverteilung.
17.03.2013, 10:23	Casio123	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh je, peinlicher Fehler... Danke für die Korrektur! Erlang- und Gammeverteilung kenne ich nicht, deshalb habe ich mir das kurz bei Wikipedia angeschaut und mit den Werten aus der Aufgabe ausgerechnet. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommen da schon deutlich unterschiedliche Werte raus (Differenz in etwa 0.07), aber da diese Verteilungen nicht in der Vorlesung behandelt wurden, ist das bestimmt in Ordnung so.
17.03.2013, 10:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na so groß ist der Unterschied nicht: Mit Erlangverteilung gerechnet ergibt sich $\begin{eqnarray} P(Z\geq 42) = 0.15765 \end{eqnarray}$ . während mit der Normalverteilung $\begin{eqnarray} 0.15866 \end{eqnarray}$ herauskommt, also eine Abweichung von ungefähr 0.1%.

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