Schwache Stetigkeit

17.03.2013, 11:08	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwache Stetigkeit Hallo , ich hab mal eine Verständnisfrage. Ich habe hier eine Abbildung $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} \sigma(X, Y) \end{eqnarray}$ - stetig ist. Was bedeutet das? Meine Vermutung: Dieses Sigma könnte (laut wiki) die Schwache Topologie sein, also würde ich folgendes probieren. Aus $\begin{eqnarray} y(x_n)\rightarrow y(x) \end{eqnarray}$ für alle stetigen, linearen $\begin{eqnarray} y\in Y \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} (x_n),x\in X \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} f(x_n)\rightarrow f(x) \end{eqnarray}$ . Kann das jemand bestätigen oder korrigieren? Danke
17.03.2013, 12:19	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Stetigkeit Was sind denn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ , wenn du $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ bilden kannst? Wenn $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ der Dualraum von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} \sigma(X,Y) \end{eqnarray}$ tatsächlich die schwache Topologie auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann ein Funktional ist, stimmt deine Vermutung, d.h. wenn $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ schwach gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ konvergiert, dann folgt $\begin{eqnarray} f(x_n)\to f(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . Ansonsten wäre etwas mehr Kontext hilfreich.
17.03.2013, 17:00	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Stetigkeit Y sind hier Maße und X ist eine Klasse von Funktionen, aber ich glaube, was Du sagst reicht mir schon. Danke .
17.03.2013, 17:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Stetigkeit Dualräume von Funktionenräumen sind auch meist Räume von Maßen. Z.B. haben stetige beschränkte Funktionen einen Raum von regulären Maßen als Dualraum, beschränkte Funktionen haben den Raum der endlich additiven Maße als Dualraum.
17.03.2013, 17:10	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau sowas war gemeint
20.03.2013, 21:48	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Stetigkeit Ich muss dann doch noch einmal fragen. Diese $\begin{eqnarray} \sigma(X, Y) \end{eqnarray}$ - Stetigkeit. Für welche Räume X und Y ist die denn definiert? Also wie funktioniert das Ganze, wenn Y nicht der Dualraum von X ist. Oder geht das dann nicht? Danke
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20.03.2013, 22:39	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwache Stetigkeit Ich kenne das nur, wenn $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ entweder der Dualraum oder ein Prädualraum von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist. Dann ist $\begin{eqnarray} \sigma(E^,E) \end{eqnarray}$ die schwache Topologie auf $\begin{eqnarray} E^ \end{eqnarray*}$ .
20.03.2013, 23:34	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ok, vielen Dank dann erstmal. Muss mal Gedanken sortieren, vllt kommt noch ne sinnvollere Frage .

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