Pyramidenmittelpunkt ermitteln

17.03.2013, 13:51	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Pyramidenmittelpunkt ermitteln Ich hab eine Pyramide mit den Punkten: $\begin{eqnarray} E(10/0/20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(10/10/20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(0/10/20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(0/0/20) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S(5/5/30) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ sei die Spitze der Pyramide. Welcher Punkt P im Innern der Pyramide hat von allen 5 Ecken der Pyramide den gleichen Abstand. Bestimmen Sie diesen Abstand. Keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Ich wollte erst die Beträge verschiedener Vektoren gleichsetzen, aber dann erhalte ich ja ein quadratisches Gleichungssystem (das wir in der Schule nicht lösen). Wie dann? Es ist übrigens eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche.
17.03.2013, 15:36	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Yu, du könntest dir erstmal Gedanken machen über die x-Koordinate und die y-Koordinate. Wie müssen die denn lauten, damit der Punkt gleichen Abstand zu den Eckpunkten hat ? Auf welcher Linie bewegt sich denn der gesuchte Punkt? Dann muss der Abstand eines Eckpunktes zum gesuchten Punkt gleich dem Abstand der Spitze zum gesuchten Punkt sein. Dann kannst du mit Hilfe des Pythagoras eine Gleichung aufstellen. Grüße.
17.03.2013, 15:50	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja na klar. Der Punkt liegt natürlich direkt unter Punkt S, sprich P ist also nur in z-Richtung verschoben. $\begin{eqnarray} P(5/5/z) \end{eqnarray}$ Dann kann man also die Gleichung nur abhängig von z darstellen: $\begin{eqnarray} \| \vec{SP} \| =\| \vec{EP} \| \end{eqnarray}$ oder?
17.03.2013, 16:04	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Da du eine Gleichung hast, kannst du sie natürlich auch lösen. Wie sieht den die Gleichung, mit Hilfe des Pythagoras, dann aus?
17.03.2013, 17:13	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Also setze ich die Werte in meine eben aufgestellte Bedingung ein, erhalte ich: $\begin{eqnarray} \| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ z-30 \end{pmatrix} \| =\| \begin{pmatrix} -5 \\ 5 \\ z-20 \end{pmatrix} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{(z-30)^2} =\sqrt{(-5)^2+5^2+(z-20)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{(z-30)^2} =\sqrt{50+(z-20)^2} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich quadriert: $\begin{eqnarray} (z-30)^2 =50+(z-20)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2-60z+900 =50+z^2-40z+400 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -60z+900 =-40z+450 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 20z=450 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=22,5 \end{eqnarray}$ Damit ist: $\begin{eqnarray} P(5/5/22,5) \end{eqnarray}$
17.03.2013, 18:03	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht alles richtig aus. Ich wusste nur nicht genau vom welchem Eckpunkt du ausgegangen bist.
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