Teilbarkeit mit Vollständiger Induktion (durch 19)

17.03.2013, 14:12	ratloses pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit mit Vollständiger Induktion (durch 19) Meine Frage: Hallo! Folgende Aufgabe ist gestellt: Zeige durch vollständige Induktion, dass für jede natürliche Zahl n die Zahl $\begin{eqnarray} 3^{3n-2} + 2^{3n+1} \end{eqnarray}$ durch 19 teilbar ist. Meine Ideen: Für n=1 kommt 19 raus und dies ist durch 19 teilbar. Danach mache ich den Schritt von n-> n+1 zu zeigen ist also: $\begin{eqnarray} 3^{3(n+1)-2} + 2^{3(n+1)+1} \end{eqnarray}$ ist durch 19 teilbar. Begonnen habe ich so: $\begin{eqnarray} 3^{3(n+1)-2} + 2^{3(n+1)+1} = 3^{3n+3-2} + 2^{3n+3+1}= 3^{3n-2} 3^{3}+ 2^{3n+1} * 2^{3}=3^{3n-2}* 27+ 2^{3n+1} * 8 \end{eqnarray*}$ Ab diesem Punkt weiss ich nicht mehr, wie ich die Voraussetzung miteinbauen könnte. Hat vielleicht jemand eine Idee für mich? LG ratloses pi
17.03.2013, 14:14	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, soweit alles richtig. Tipp: 27=19+8
17.03.2013, 14:21	ratloses pi	Auf diesen Beitrag antworten »
Super danke, da rechnet man mit wilden Formeln herum, dabei ist es so einfach Also: Wenn ich 27 durch 19+8 ersetze, kann ich den Ausdruck noch zerlegen in $\begin{eqnarray} 3^{3n-2}19 + 3^{3n-2}8 + 2^{3n+1}8 \end{eqnarray}$ . Bei den zwei hinteren Ausdrücken 8 rausheben --> $\begin{eqnarray} 8( 3^{3n-2} + 2^{3n+1}) \end{eqnarray}$ . Der Teil in Klammer ist laut Voraussetzung durch 19 teilbar, also auch noch das Produkt mit 8. Der vordere Ausdruck $\begin{eqnarray} 3^{3n-2}19 \end{eqnarray*}$ ist offensichtlich durch 19 teilbar. Somit ist der gesamte Ausdruck durch 19 teilbar. Ich hoffe das stimmt so Dankeschön für die schnelle Hilfe!

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