Residuum bestimmen

17.03.2013, 13:30

nils mathe lk hems

Residuum bestimmen

hey,

ich hab ne frage zu der aufgabe...

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2 } \, dx \end{eqnarray*}$

also die nullstellen sollten i & -i sein und sie sollten doppelte nullstellen sein, da x^2+1 nochmal im quadrat steht...

dann brauche ich ja folgende formel:

$\begin{eqnarray*} Res(f(z),z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left[\left(z-z_0\right)^n f(z)\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res(f(z),i) = \frac{1}{(2-1)!} \lim_{z \to i} \frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} \left[\left(z-i\right)^2\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2 } \right] \end{eqnarray*}$

komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} Res(f(z),z_0) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ \frac{\left(z-i\right)^2}{\left(z^2+1\right)^2 }\right] = \lim_{z \to i}\frac{2\left(z-i\right)\left(z^2+1\right)^2-2z\cdot 2\left(z^2+1\right)\left(z-i\right)^2}{\left(z^2+1\right)^4} \end{eqnarray*}$

da hab ich jetzt aber immernoch 0/0 stehen, wenn ich z gegen i gehen lasse und nach wolfram sollten die residuen so sein
http://www.wolframalpha.com/input/?i=res...B1%29%5E2%29%29

17.03.2013, 13:41

Che Netzer

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RE: Residuum bestimmen
Du könntest auch eine Partialbruchzerlegung machen:
$\begin{eqnarray*} \frac1{(x^2+1)^2}=\frac A{x+\mathrm i}+\frac B{(x+\mathrm i)^2}+\frac C{x-\mathrm i}+\frac D{(x-\mathrm i)^2}\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ dann die Residuen sind.

In deiner Rechnung solltest du vor dem Ableiten $\begin{eqnarray*} \frac{(z-\mathrm i)^2}{(z^2+1)^2}=(z+\mathrm i)^{-2} \end{eqnarray*}$ berücksichtigen.
Oder kürze anschließend.

17.03.2013, 14:07

nils mathe lk hems

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mir ist gerade eingefallen, dass ich mit der 3. binomischen formel so umformen kann

$\begin{eqnarray*} Res(f(z),z_0) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ \frac{\left(z-i\right)^2}{\left(z^2+1\right)^2 }\right] = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ \frac{\left(z-i\right)^2}{\left(\left(z+i\right)\left(z-i\right)\right)^2 }\right] = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{\left(z+1\right)^2 }\right] =\lim_{z \to i} \frac{0-2\left(z+1\right)}{\left(z+1\right)^4 } \end{eqnarray*}$

17.03.2013, 14:08

Che Netzer

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Da gab es wohl noch einen Tippfehler, aber das habe ich dir doch gerade schon gesagt.

Allerdings brauchst du zum Ableiten keine Quotientenregel.

17.03.2013, 14:27

nils mathe lk hems

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jap der tippfehler viel mir auch auf mit der 1...
aber dann war das board bei mir nicht mehr erreichbar (kurz down??? verwirrt

)

egal...

$\begin{eqnarray*} Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz} \left[ \frac{1}{\left(z+i\right)^2 }\right] =\lim_{z \to i} \frac{-2}{\left(z+i\right)^3 } =\lim_{z \to i}\frac{-2}{z^3+3iz^2-3z-i} = \frac{-2}{-i-3i-3i-i} = \frac{2}{8i}=-\frac{i}{4} \end{eqnarray*}$

so jetzt zum anderen residuum, dass wird doch nicht betrachtet, da es nicht in der oberen halbebene liegt oder täusche ich mich da?

17.03.2013, 14:38

Che Netzer

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Stimmt so, aber wieso löst du die Klammer auf? geschockt

17.03.2013, 14:42

nils mathe lk hems

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Zitat:

Original von Che Netzer
Stimmt so, aber wieso löst du die Klammer auf? geschockt

das frag ich mich gerade auch, wo du es sagst ^^
irgendwie einfach, wenn man das sein lässt...

17.03.2013, 14:47

nils mathe lk hems

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der vollständigkeit wegen...

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^\infty \! \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2 } \, dx = 2\pi i * Res(f(z),i) = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

17.03.2013, 14:54

Che Netzer

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Ja, das stimmt.

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