Ableitungen von Funktionen mit a und e

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17.03.2013, 14:49	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitungen von Funktionen mit a und e Meine Frage: Mir wurde eine Kurvenschar gegeben. fa(x)= $\begin{eqnarray} -\frac{2x}{a} e^{a-x} \end{eqnarray}$ Um weitere Aufgaben rechnen zu können, benötige die Ableitungen. Leider komme ich gar nicht weiter. Kann mir jemand erklären wie ich die Ableitung möglichst einfach und logisch ausrechnen kann???? Meine Ideen:* Ich weiß, dass a ein freier Parameter ist und ich den Bruchstrich auflösen sollte, um weiter rechnen zu können
17.03.2013, 15:02	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitungen von Funktionen mit a und e Hallo, Den Funktionsterm ein bisschen anders schreiben: $\begin{eqnarray} f_a(x)= -\frac2a \cdot x \cdot e^{a-x} \end{eqnarray}$ und den Parameter als Konstante betrachten. Mit welcher Ableitungsregel willst Du jetzt weitermachen?
17.03.2013, 15:04	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Struktur des Funktionstherms ist ein Produkt. Also muss ich doch die Produktregel anwenden, odeR?
17.03.2013, 15:06	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau! Achte darauf, dass Du bei der Ableitung der e-Funktion die Kettenregel anwenden musst.
17.03.2013, 15:12	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja und genau jetzt komme ich nicht mehr weiter. Die Produktregel lautet: u' * v + u * v' und die Kettenregel ist äußere Ableitung * innrere Ableitung. Wie leite ich jetzt den Bruchstrich ab?? Hab mit Bruchstrichen allg. meine Probleme
17.03.2013, 15:19	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Bruch $\begin{eqnarray} -\frac2a \end{eqnarray}$ ist ein konstanter Faktor. Und konstante Faktoren werden beim Ableiten unbeschädigt übernommen.
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17.03.2013, 15:21	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Bruch lautet doch aber $\begin{eqnarray} - \frac{2x}{a} \end{eqnarray}$ . Ist er dann immernoch ein konstanter Faktor??
17.03.2013, 15:28	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies Dir bitte meine erste Antwort durch. Ich habe Dir den Funktionsterm so zerlegt, dass Du sofort die Konstanten und die Variablen unterscheiden kannst.
17.03.2013, 15:30	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Das sieht noch viel komplizierter aus als vorher. Gut für die erste Ableitung übernehme ich schonmal $\begin{eqnarray} -\frac{2}{a} \end{eqnarray}$ . Wie verfahre ich jetzt weiter???
17.03.2013, 15:38	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast ja die Produktregel (fast) richtig angegeben. Die Kunst besteht darin, die Teilfunktionen u und v zu erkennen: $\begin{eqnarray} f_a(x)= \underbrace{-\frac2a}_{\text{konstant}} \cdot \left(\underbrace{x}_{u} \cdot \underbrace{e^{a-x}}_{v} \right) \end{eqnarray}$ Du musst also nur den Term in der großen Klammer ableiten, da der Faktor vor der Klammer einfach übernommen wird.
17.03.2013, 15:41	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Achsoooo. Gut das leuchtet jetzt ein. Mein nächstes Problem ist die Ableitung der e-Funktion. $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ ist abgeleitet $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ . Aber wie leite ich jetzt weiter ab??? Muss ich das -x vor das e stellen???
17.03.2013, 15:42	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte Dir schon gesagt, dass Du bei der Ableitung dieser speziellen e-Funktion die Kettenregel anwenden musst, weil der Exponent eben nicht ein einfaches schlichtes x ist. Wie lautet denn die Kettenregel?
17.03.2013, 15:45	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kettenregel lautet äußere Ableitung * innere Ableitung. Ist $\begin{eqnarray} e^{a-x} (-1) \end{eqnarray*}$ richtig abgeleitet??? Wenn nein, gibt eine eine Hilfe oder einen Gedankenanstoss??
17.03.2013, 15:47	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt!
17.03.2013, 15:53	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal Die Gesamte Ableitung des Therms würde nach meinen Rechnungen ergeben: $\begin{eqnarray} - \frac{2}{a} [1e^{a-x} + x e^{a-x}* (-1)] \end{eqnarray*}$ Richtig oder falsch??
17.03.2013, 15:56	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerlos! Da Du sicherlich mit diesem Monstrum weiterrechnen musst, schlage ich vor, dass Du $\begin{eqnarray} e^{a-x} \end{eqnarray}$ ausklammerst. In der verbleibenden Klammer steht dann ein einfacher linearer Term, der sehr bequeme Berechnungen zulässt.
17.03.2013, 16:02	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mir fiel schon die Ableitung total schwer. Ich hoffe dass ich es in der Klausur am Donnerstag gleich verstehe und hinbekomme. Die zusammengefasste Ableitung: $\begin{eqnarray} -\frac{2}{a} e^{a-x} [x-1] \end{eqnarray*}$
17.03.2013, 16:03	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima. Alles richtig. Viele Erfolg bei der Klausur!
17.03.2013, 16:05	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hee. Das ist noch nicht alles haha Ich brauch doch noch die 2. Ableitung. Den Wendepunkt bestimmt man doch mit der notwendigen Bedingung der 2.Ableitung. Bekomm ich noch ein bisschen Hilfe?
17.03.2013, 16:18	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. $\begin{eqnarray} f_a'(x)= -\frac{2}{a} e^{a-x} [x-1] \end{eqnarray*}$ Du hast ein Produkt von Konstanten der Funktion u der Funktion v und wie man das alles ableitet, hast Du mir doch eben gezeigt.
17.03.2013, 16:20	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werd mir die 2. und 3. Ableitung selber vornehmen. Meine Frage bei der 2. ist jetzt: Das ist in der Klammer ist v und das außerhalb u?
17.03.2013, 16:23	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Im Übrigen kann man natürlich die Reihenfolge der Faktoren bei einem Produkt gefahrlos ändern EDIT: Nachtrag: Schick doch mal Deine Ergebnisse, wenn Du fertig bist. Ich seh sie mir gern an.
17.03.2013, 16:29	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Also $\begin{eqnarray} - \frac{2}{a} \end{eqnarray}$ ist wieder konstanter faktor!? Ich würde $\begin{eqnarray} - \frac{2}{a} [e^{a-x} * (-1)(x-1)+e^{a-x} (1)] \end{eqnarray*}$ rausbekommen. Irgendwie erscheint mir das jedoch fehlerhaft. Oder liege ich falsch??
17.03.2013, 16:36	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig, auch wenn es ein bisschen barock aussieht. Klammere den Term $\begin{eqnarray} e^{a-x} \end{eqnarray}$ in der eckigen Klammer aus und fasse zusammen.
17.03.2013, 16:42	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja so barock siehts in meinem Kopf auch aus Haha. Die 2. habe ich jetzt weitestgehend zusammen gefasst. Die Lösung wäre: $\begin{eqnarray} -\frac{2}{a} e^{a-x} [2-x] \end{eqnarray*}$
17.03.2013, 16:43	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig! Zum Weiterrechnen musst Du ja die Funktionsterme gleich null setzen. Denke dran, ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.
18.03.2013, 17:09	mioumouse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt gleich noch die 3. Ableitung hinterher gerechnet, da ich die brauche um mögliche wendepunkte zu bestimmen .. $\begin{eqnarray} - \frac{2}{a} e^{a-x} \left[-3+x\right] \end{eqnarray*}$
18.03.2013, 21:37	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, alles richtig. Sehr gut!

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