Verschoben! Stationäre Verteilung mit Parameterbestimmung

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17.03.2013, 17:19	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Stationäre Verteilung mit Parameterbestimmung Hallo, eine weitere Aufgabe, die uns unser Lehrer gegeben hat, ist folgende: Gegeben ist die Entwicklungsmatrix $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}=\begin{pmatrix} 0,5 & 0&c\\ 2 & 0&0\\0&0,4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgabe: "Es gibt einen Wert für $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ , so dass die Population langfristig einen stationären Zustand erreicht. Bestimmen Sie diesen Wert für $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz war: Bei stat. Verteilung gilt: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}} \vec{v}_{stat}= \vec{v}_{stat} \end{eqnarray}$ oder auch: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}} * \vec{v}_{stat}= \underline{\underline{E}} \vec{v}_{stat} \end{eqnarray}$ (E: Einheitsmatrix) $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}} \vec{v}_{stat}= \underline{\underline{E}} \vec{v}_{stat} \| - (\underline{\underline{E}} \vec{v}_{stat}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} > \underline{\underline{B}} * \vec{v}_{stat}-\underline{\underline{E}} \vec{v}_{stat}=\underline{\underline{0}} \end{eqnarray}$ vereinfacht: $\begin{eqnarray} (\underline{\underline{B}}- \underline{\underline{E}})\vec{v}_{stat}= \underline{\underline{0}} \end{eqnarray*}$ Hier habe ich dann versucht, nach c aufzulösen, bekomme jedoch ein falsches Ergebnis heraus, bei dem die Verteilung keinesfalls stationär ist. Übersehe ich die Einfachheit der Aufgabe oder rechne ich schlicht falsch?
17.03.2013, 18:25	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Gleichung sieht richtig aus. Deine Rechnung kenne ich natürlich nicht. Vor allem wäre es gut zu wissen, wie $\begin{eqnarray} (\underline{\underline{B}}- \underline{\underline{E}})\vec{v}_{stat}= \underline{\underline{0}} \end{eqnarray*}$ konkret aussieht. Grüße.
17.03.2013, 18:28	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles Klar: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -0,5&0&c\\2&-1&0\\0&0,4&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
17.03.2013, 18:46	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich genauso. Wie bist du weiter vorgegangen?
17.03.2013, 18:54	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin leider zum Essen eingeladen, schreibe aber nachher mein weiteres vorgehen (Allg. ist's der Gauß-Algorithmus wobei dann für das, was in der Matrix oben rechts steht sowohl die unbekannte $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ mit einem Vorfaktor stehen)
17.03.2013, 19:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Überlegungen hören sich gut an. Ich würde aber hier das Einsetzungsverfahren vorziehen, da die dritte Gleichung leicht nach $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ aufzulösen ist. Den Ausdruck für $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ kann man dann in die zweite Gleichung einsetzen und somit einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ herstellen. Diesen kann man dann zur Bestimmung von c in der ersten Gleichung verwenden. Ich wünsche Dir jetzt aber erstmal guten Appetit und viel Spaß.
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17.03.2013, 20:59	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also ich versuch's: $\begin{eqnarray} III: 0v_1 +0,4v_2 -1v_3 = 0 \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} 0,4v_2 =1v_3 \end{eqnarray}$ womit $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} v_2=\frac{1}{0,4}v_3:>> v_2=2,5v_3 \end{eqnarray}$ Das hatte ich vorhin auch raus, nur ich glaube der Zusammenhang war nicht der selbe. $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} II \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} II: 2v_1 -2,5v_3 =0 \end{eqnarray}$ Das umstellen nach $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 2v_1=2,5v_3 \|:2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1=1,25v_3 \qquad(1) \end{eqnarray}$ Ich hoffe bis dahin ist alles richtig. Nun steht in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ ja: $\begin{eqnarray} I: -0,5v_1 +cv_3=0\qquad(2) \end{eqnarray}$ Weiterhin: $\begin{eqnarray} (1) in (2): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -0,51,25v_3+cv_3=0 \end{eqnarray}$ ... ich sehe schon wo's hinführt... $\begin{eqnarray} -0,625v_3+cv_3=0 \end{eqnarray}$ jetzt kann ich ja $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ vor die Klammer ziehen: $\begin{eqnarray} v_3(-0,625+c)=0 \end{eqnarray}$ Nun, müsste ja $\begin{eqnarray} v_3 \neq 0 \end{eqnarray}$ sein, da ja sonst nur eine triviale Lösung herauskommt. Damit also die Klammer 0 wird, muss gelten: $\begin{eqnarray} -0,625+c=0 \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} c=0,625 \end{eqnarray*}$ Das Ergebnis hatte ich allerdings vorhin auch raus und da kam keine Stabile Verteilung heraus :/ Rechenfehler? Danke schonmal
17.03.2013, 21:08	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das gleiche raus. Was hast du denn für einen Fixvektor benutzt?
17.03.2013, 21:12	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eigentlich geschaut, ob sich die Matrix $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}} \end{eqnarray}$ einer Grenzmatrix annähert also hab ich z.B. $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}^{155} \end{eqnarray}$ gerechnet und geschaut, ob die Werte bei $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}^{156} \end{eqnarray}$ gleich sind. Das sind sie aber leider nicht
17.03.2013, 21:16	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh moment! Stimmt ja, ich sehe das Problem. Mein Lehrer meinte zwar, dass die empirische Variante ein paar Punkte gibt, aber sie natürlich nicht die beste ist. Daher müsste ich nochmals folgendes ausrechnen: $\begin{eqnarray} (\underline{\underline{B}}-\underline{\underline{E}})\vec{v}_{fix}=\underline{\underline{0}} \end{eqnarray*}$ Denn ich habe ja nun die Verteilungsmatrix...
17.03.2013, 21:23	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß im Moment nicht, wie du die Matrizen bestimmt hast. Aber man weiß ja wie die Verhältnisse der Werte des Fixv2ektors. Edit: Verschrieben. $\begin{eqnarray} v_2=\textcolor{red}{2v_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_3=\frac{v_1}{1,25} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du z.B. für $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ den Wert 1 einsetzen. Die Werte für die anderen beiden Variablen ergeben sich aus den beiden obigen Gleichungen. Dann kannst du rechnen: $\begin{eqnarray} B \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ Es sollte dann $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ herauskommen.
17.03.2013, 21:32	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar; zu meiner Theorie mit der Matrix: Wir suchten ja Die B-Matrix: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}=\begin{pmatrix} 0,5 & 0&c\\ 2 & 0&0\\0&0,4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. sollten das C bestimmen. das c war ja 0,625: $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}=\begin{pmatrix} 0,5 & 0&0,625\\ 2 & 0&0\\0&0,4&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun hatte ich im hinterkopf, dass, wenn man eine Fixverteilung erreichen kann, man einfach die Matrix $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}} \end{eqnarray}$ so oft mit sich selbst multipliziert, bis eine Grenzmatrix entsteht. War das nicht richtig? Wenn nein, auch nicht schlimm, dann halt nur gut, dass ich es noch erfahren habe So, nun zur anderen Herangehensweise: Mit $\begin{eqnarray} v_1=1 \end{eqnarray}$ , wie gesagt: $\begin{eqnarray} v_2=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_3=\frac{1}{1,25}=0,8 \end{eqnarray}$ daraus ergibt sich $\begin{eqnarray} \vec{v}_{fix}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\0,8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Richtig? Denn ich bekomme dann bei $\begin{eqnarray} \underline{\underline{B}}\vec{v}_{fix} \end{eqnarray*}$ leider nicht wieder den Fixvektor heraus..
17.03.2013, 21:34	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mich verschrieben. Ich habe es gerade eben richtig editiert (rot). Zu deiner Theorie später.
17.03.2013, 21:38	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Jup, das hatte ich auch schon dann kurz nach dem Post bemerkt und geändert, mein $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ stimmt mit den Verhältnisrechnungen auch, aber immernoch leider nicht die Fixverteilung
17.03.2013, 21:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich diese Matrix 0,5-0--0,625 2---0--0 0---0,4-0 mit diesem Vektor $\begin{eqnarray} (1,2,0.8)^T \end{eqnarray}$ multipliziere, dann kommt bei mir $\begin{eqnarray} (1,2,0.8)^T \end{eqnarray}$ raus.
17.03.2013, 22:10	For-Real	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, Fehler gefunden, lag an der GTR-Eingabe Aber ja, es stimmt Danke für die Hilfe Guten Abend bzw. Nacht und bis bald
17.03.2013, 22:26	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Freut mich, dass es funktioniert hat. Edit: Ich wünsche Dir auch eine gute Nacht. Grüße.

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