f(x,y) entlang eines linearen weges Integrieren

17.03.2013, 17:28

Ingi

f(x,y) entlang eines linearen weges Integrieren

Hallo zusammen,

ich stehe gerade bei folgender Aufgabe auf dem Schlauch:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=2xy+2 \end{eqnarray*}$ betrachtet. Integrieren Sie f entlang des linearen Weges zwischen den Punkten A(1,1) und B(2,5).

Ich habe 2 verschiedene Ideen wobei auch 2 verschiedene Lösungen:
1.Idee: Einfach Integrieren mit $\begin{eqnarray*} 1\leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\leq y \leq 5 \end{eqnarray*}$ sähe dann so aus: $\begin{eqnarray*} \int_2^5 \int_1^2 \! (2xy+2) \, dx dy \end{eqnarray*}$

2.Idee: Ich habe mir irgendwann mal folgendes aufgeschrieben:
Wegintegral einer Skalaren Funktion längs dem Weg g(x): $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x,g(x))*\sqrt{1+(g`(x))^2} dx \end{eqnarray*}$ in diesem Fall mit $\begin{eqnarray*} g(x)=4x-3 \end{eqnarray*}$
damit: $\begin{eqnarray*} \int_1^2 (2x(4x-3)+2)*\sqrt{17} dx \end{eqnarray*}$

kann mir jemand sagen welcher der richtige Ansatzt ist ?

17.03.2013, 17:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: f(x,y) entlang eines linearen weges Integrieren

Zitat:

Original von Ingi
1.Idee: Einfach Integrieren mit $\begin{eqnarray*} 1\leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1\leq y \leq 5 \end{eqnarray*}$ sähe dann so aus: $\begin{eqnarray*} \int_2^5 \int_1^2 \! (2xy+2) \, dx dy \end{eqnarray*}$

Damit würdest du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über dem Rechteck $\begin{eqnarray*} [1,2]\times[1,5] \end{eqnarray*}$ integrieren.

17.03.2013, 17:35

komplexer

Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Idee ist falsch, bei zweiter Idee ist die Rechnung falsch. Du musst Ein Kurvenintegral erster Art über die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(t,4t-3) \end{eqnarray*}$ berechnen.

17.03.2013, 17:39

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von komplexer
bei zweiter Idee ist die Rechnung falsch.

Wieso das denn?

17.03.2013, 17:40

Ingi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet dieser Ansatz ist schon falsch $\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x,g(x))*\sqrt{1+(g`(x))^2} dx \end{eqnarray*}$

oder nur falsch angewendet ?

17.03.2013, 17:44

Ingi

Auf diesen Beitrag antworten »

weil bei diesem Ansatz bin ich mir nicht wirklich sicher. Ich habe versucht sowas noch mal in meiner Formelsammlung wieder zu finden hab aber nix gefunden.

Beim anwenden dürfte eigentlich nichts falsch sein. Ich hab ja nur alles eingesetzt.

17.03.2013, 17:48

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgesehen davon, dass du den falschen Ableitungsstrich benutzt hast, stimmt das so.

17.03.2013, 17:49

komplexer

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
Ich kann Deinen Ansatz leider nicht nachvollziehen, vor allem habe ich keine Ahnung was $\begin{eqnarray*} g%60(x) \end{eqnarray*}$ sein soll.

17.03.2013, 17:52

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} ` \end{eqnarray*}$ entsteht, wenn im Forums- $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ ein Gravis ` verwendet wird.
Ein Akut ´ wird zu $\begin{eqnarray*} ´ \end{eqnarray*}$ .

17.03.2013, 17:54

Ingi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der andere Strich wurde von Latex nicht akzeptiert. verwirrt

Kannst du denn bestätigen das der Ansatz richtig ist ? Denn ich hab den bei mir in der Formelsammlung und auch bei google suchen nicht gefunden.

17.03.2013, 17:58

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Kurve wird in diesem Fall durch $\begin{eqnarray*} \gamma(t)=(t,g(t)) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t\in[a,b] \end{eqnarray*}$ parametrisiert und es ist $\begin{eqnarray*} \lVert\gamma'(t)\rVert=\sqrt{1+(g'(t))^2} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(t)=4x-3 \end{eqnarray*}$ hast du auch richtig eingesetzt.

17.03.2013, 17:59

Ingi

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} g`(x) \end{eqnarray*}$ soll die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ sein

17.03.2013, 18:00

Ingi

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank für die Antwort Freude