Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Formel beschreiben

17.03.2013, 17:32	xandi1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Formel beschreiben Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zu einer Formel eines Papers, welches ihr unter http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs4758...per_rabiner.pdf findet. Es geht um die Formel 6b (3. Seite). Meine Mathematischen Kenntnisse reichen leider nicht dazu aus, dass ich den Schritt verstehe: Wie kommt man von $\begin{eqnarray} \sum\limits_{d=1}^\infty d(a_{ii})^{d-1} (1-a_{ii}) = \frac{1}{1-a_{ii}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hätte probiert, die Klammern auszumultiblizieren und vereinfachen, komme aber nicht drauf wie das gehen soll. Ich hoffe, dass ich hier richtig bin.
19.03.2013, 14:34	Coolmogorov	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke, hierbei kam eine Variante der geometrischen Reihe zum Einsatz, nämlich $\begin{eqnarray} \sum_{d=0}^{\infty} d q^d = \frac{q}{(1-q)^2} \end{eqnarray}$ (Siehe diese Herleitung ) Außerdem die geometrische Reihe "selbst", also $\begin{eqnarray} \sum_{d=0}^{\infty} q^d = \frac{1}{(1-q)} \end{eqnarray}$ (mit q betragsmäßig <1). Hier ist $\begin{eqnarray} q := a_{ii} \end{eqnarray}$ , was betragsmäßig < 1 ist, da es sich bei $\begin{eqnarray} a_{ii} \end{eqnarray}$ um Wahrscheinlichkeiten ungleich 1 handelt, wenn ich das richtig sehe. Es wurde gerechnet $\begin{eqnarray} \sum_{d=1}^{\infty}d q^{d-1} (1 - q) = (1 - q) \sum_{d=1}^{\infty}d q^{d-1} = (1 - q) \sum_{d=0}^{\infty}(d + 1) q^{(d+1)-1} \\ <br /> = (1 - q) \left[ \sum_{d=0}^{\infty}( d q^d ) + \sum_{d=0}^{\infty}(q^d ) \right] = (1 - q) \left[ \frac{q}{(1-q)^2} + \frac{1}{(1-q)} \right] = \frac{q}{1-q} + 1 = \frac{q + 1 - q}{1-q} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ (1. Schritt: 1 - q rausziehen, da nicht vom Index d der Reihe abhängig 2. Schritt: Indexverschiebung; beim d am Summenzeichen 1 abziehen, bei allen anderen d rechnet man gleichzeitig +1 3. Schritt: Summe aufteilen (Klammer auflösen) 4. Schritt: die beiden geometrischen Reihen anwenden) und dann aufdröseln und vereinfachen. Also wenn du diese Reihen nicht kennst, kann man da schwer drauf kommen
19.03.2013, 14:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder: $\begin{eqnarray} \sum_{d=1}^\infty dq^{d-1}(1-q)=\frac{1-q}q\sum_{d=0}^\infty dq^d=\frac1{1-q}\,. \end{eqnarray}$
19.03.2013, 16:11	Coolmogorov	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist natürlich viel einfacher Danke.

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