Operatornorm

17.03.2013, 18:39

klausi1732

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Operatornorm

Meine Frage:
Hallo,

ich stecke bei folgender Aufgabe:

Es sei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{kxd} \end{eqnarray*}$

z.z.:

$\begin{eqnarray*} | | A | | _{\infty } = \max_{i=1...k} \sum\limits_{j=1}^d | a_{i,j} | \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also i würd? einfach nur aufschreiben wie? definiert ist, scheint mir aber zu einfach?

$\begin{eqnarray*} <br /> | | A | | _{\infty } = \max_{i=1...k} ((a_{1,1}+a_{1,2}...+a_{1,d}),(a_{2,1}+a_{2,2}...+a_{2,d}),...(a_{k,1}+a_{k,2}...+a_{k,d}))=<br /> \max_{i=1...k} \sum\limits_{j=1}^d | a_{i,j} | \end{eqnarray*}$

17.03.2013, 18:56

Che Netzer

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RE: Operatornorm

Zitat:

Original von klausi1732
$\begin{eqnarray*} | | A | | _{\infty } = \max_{i=1...k} ((a_{1,1}+a_{1,2}...+a_{1,d}),(a_{2,1}+a_{2,2}...+a_{2,d}),...(a_{k,1}+a_{k,2}...+a_{k,d})) \end{eqnarray*}$

Woher kommt das denn?
Und insbesondere würden darin die Beträge fehlen.

17.03.2013, 19:09

klausi1732

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RE: Operatornorm
ja stimmt die Beträge, ist diese Norm nicht das Maximum der Summen der zeileneinträge?

17.03.2013, 19:19

Che Netzer

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RE: Operatornorm
Das ist zwar die größte Summe von Beträgen in einer Zeile (Zeilensummennorm), aber genau das sollst du ja erst zeigen.

17.03.2013, 19:29

klausi1732

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wie kann ich das zeigen?
Ist das nicht einfach so definiert?

17.03.2013, 19:38

Che Netzer

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Nein, die $\begin{eqnarray*} \lVert\cdot\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ -Norm ist zunächst nur für Vektoren definiert.
Für Matrizen brauchst du die Definition der Operatornorm.

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17.03.2013, 19:59

klausi1732

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Ich glaub es geht um die Bedingung:
$\begin{eqnarray*} ||f||=\sup_{x\in V} x \frac{||f(x)||_{w} }{||x||_{v} } =\sup_{||x||_{v=<1}} ||f(x)||_{w} \end{eqnarray*}$
ich weiß aber nicht ganz was ich damit anfangen soll?

17.03.2013, 20:47

Che Netzer

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Nicht Bedingung, sondern Definition.

In diesem Fall ist also
$\begin{eqnarray*} \lVert A\rVert=\sup_{\substack{x\in\mathbb R^d\\\lVert x\rVert_\infty=1}}\lVert Ax\rVert_\infty\,. \end{eqnarray*}$

Jetzt schreibe mal $\begin{eqnarray*} \lVert Ax\rVert_\infty \end{eqnarray*}$ für allgemeines $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\dotsc,x_d)^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ auf.

17.03.2013, 21:02

klausi1732

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Also erste Zeile mal Spalte x= $\begin{eqnarray*} (a_{1,1} *x_{1},a_{1,2}*x_2...*a_{1,d})^T \end{eqnarray*}$ und so weiter mit den nächsten Zeilen.

wenn ich[ richtig verstehe muss jetzt aus den Elementen der Spaltenvektoren a das Maximum rausgesucht werden.
Dies ist gleichbedeutent wie wenn uch die Supremumsnorm einer einzelnen Spalte bilde oder?

17.03.2013, 21:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von klausi1732
Also erste Zeile mal Spalte x= $\begin{eqnarray*} (a_{1,1} *x_{1},a_{1,2}*x_2...*a_{1,d})^T \end{eqnarray*}$ und so weiter mit den nächsten Zeilen.

Eigentlich erhältst du dabei $\begin{eqnarray*} a_{1,1}x_1+\dotsb+a_{1,d}x_d \end{eqnarray*}$ für den ersten Eintrag von $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ .

18.03.2013, 18:29

klausi1732

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Wir haben heute in der Vorlesung ne neue Definition gelernt, mit der ich glaub ich besser zurechtkomme:

$\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R ^{kxd} \quad ||A||=sup\{||Ax||_{\mathbb R ^k} x \in \mathbb R ^d mit ||x||_{\mathbb R^d}=1\} \end{eqnarray*}$

Dies forme ich um:

$\begin{eqnarray*} ||A||_{\infty }=sup\{||Ax||_{\infty } x \in \mathbb R ^d \quad mit \quad ||x||_{\infty }=1\}=sup\{\sup_{i=1...k}\sum\limits_{j=1}^d |a_{i,j} x_{i} | \quad x \in \mathbb R ^d \quad mit \quad sup|x|=1\} \end{eqnarray*}$

Die Summe wird gerade bei x=1 maximal, das ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sup_{i=1...k}\sum\limits_{j=1}^d |a_{i,j} | \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Desweiteren sollte ich noch die Herleitung für die Spektralnorm machen, die ist aber auf Wikipedia zu finden wo ich aber 2 Sachen nicht so ganz verstehe:

Warum gilt: Warum ist $\begin{eqnarray*} <Ax,Ax> =<A^TAx,x> \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} U^H A^H A \, U = D \end{eqnarray*}$ müsste nicht U^-1 stehn?

18.03.2013, 20:37

Che Netzer

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Zitat:

Original von klausi1732
Wir haben heute in der Vorlesung ne neue Definition gelernt, mit der ich glaub ich besser zurechtkomme:

$\begin{eqnarray*} A\in \mathbb R ^{kxd} \quad ||A||=sup\{||Ax||_{\mathbb R ^k} x \in \mathbb R ^d mit ||x||_{\mathbb R^d}=1\} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dir oben schon aufgeschrieben...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||A||_{\infty }=sup\{||Ax||_{\infty } x \in \mathbb R ^d \quad mit \quad ||x||_{\infty }=1\}=sup\{\sup_{i=1...k}\sum\limits_{j=1}^d |a_{i,j} x_{i} | \quad x \in \mathbb R ^d \quad mit \quad sup|x|=1\} \end{eqnarray*}$

Fast. Die Betragsstriche müssten hier um die ganze Summe, nicht um alle Summanden stehen.

Zitat:

Warum gilt: Warum ist $\begin{eqnarray*} <Ax,Ax> =<A^TAx,x> \end{eqnarray*}$

Das folgt sofort aus der Definition eines transponierten/adjungierten Operators.

18.03.2013, 21:12

klausi1732

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Zitat:

Zitat:
Original von Che Netzer
Das habe ich dir oben schon aufgeschrieben...

Das hab ich nicht richtig einordnen können...

Der Rest stimmt aber abgesehen von den Betragsstrichen?

18.03.2013, 21:16

Che Netzer

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Naja, du müsstest noch begründen, wieso das Supremum das angegebene ist.

18.03.2013, 21:49

klausi1732

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mh, weil das Supremum in der Mengenklammer die kleinste obere Schranke der Menge ist und das äußere Supremum die kleinste obere Schranke der inneren ist.Was das selbe wäre, deshalb kann man das äußere Supremum wecklassen.

19.03.2013, 00:06

Che Netzer

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Du solltest nochmal etwas genauer darüber nachdenken, was das Supremum hier sein soll. D.h. wovon wird das Supremum genommen etc.

Und es heißt "weglassen", nicht "wecklassen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

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