Unterkörper

17.03.2013, 20:20

Mathemass

Unterkörper

Hallo,

Ich habe eine Frage zu Unterkörpern von endliche Körpern. Ich habe einen Körper mit $\begin{eqnarray*} p^{r} \end{eqnarray*}$ Elementen. Konkret einen Körper mit $\begin{eqnarray*} 3^{4} \end{eqnarray*}$ , also 81 Elementen. Ich frage mich jetzt wie die Elemente dieses Körpers aussehen und welche Unterkörper es hat.

Es gibt sicher einen Unterkörper mit 3 Elementen(Primkörper). Dann vermutlich auch einen mit 9 bzw. 27 Elementen. Das kann ich jedoch nicht beweisen. Und gibt es mehrere Unterkörper mit 9 bzw. 27 Elemente? Wenn nicht, ist der Körper mit 3 Elementen in den Körper mit 9 bzw. der Körper mit 9 Elementen in den Körper mit 27 Elementen enthalten?
Wie soll ich da vorgehen? Über den Zerfällungskörper?

Danke für eure Hilfe.

17.03.2013, 21:52

jester.

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Ein endlicher Körper mit $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ Elementen hat zu jedem Teiler $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ genau einen Teilkörper mit $\begin{eqnarray*} p^m \end{eqnarray*}$ Elementen. Genauer gesagt ist der Teilkörperverband zum Teilerverband von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ isomorph.
Das heißt der Körper mit 81 Elementen hat einen Teilkörper mit 3 Elementen und einen mit 9 Elementen, aber keinen mit 27 Elementen.

"Konkret" kann man einen Körper mit $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ Elementen konstruieren, indem man ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray*} f\in\mathbb{F}_p[X] \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählt. Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_{p}[X]/(f) \end{eqnarray*}$ . Man kann $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{p^n} \end{eqnarray*}$ auch als Matrixring mit Hilfe von Begleitmatrizen konstruieren.

18.03.2013, 12:18

Mathemass

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Habe noch nie etwas von Teilkörperverband gehört, Wikipedia auch nicht smile

.
Dass es keinen Teilkörper mit 27 Elementen gibt, finde ich schon überraschend.

Wenn ich den Körper mit 27 Elementen mir als Polynome der Form
$\begin{eqnarray*} bx^{3} +c^{2} +dx + e \end{eqnarray*}$ vorstelle

und der Körper mit 81 Elementen
$\begin{eqnarray*} ax^{4} + bx^{3} +c^{2} +dx + e \end{eqnarray*}$ , a,b,c,d in Z/3Z.

mit übliche Addition und Multiplikation.
Kannst du das mit dem Teilkörperverband genauer erläutern. Im Internet finde ich kaum etwas dazu.

18.03.2013, 15:22

jester.

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Verbände findest du hier, insbesondere interessant ist dieser Unterabschnitt.
Der Teilkörperverband ist also einfach die Menge aller Teilkörper eines Körpers. Auf dem Verband gibt es die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ , die wieder Teilkörper liefert, sowie eine Verknüpfung, die keine einheitliche Bezeichnung trägt: sie liefert zu zwei Teilkörpern den kleinsten Teilkörper, der diese beiden kleineren Teilkörper enthält.
Das ist schon alles.
Der Teilerverband ist die Menge aller Teiler einer Zahl; er trägt die zwei Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{kgV} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dass es keinen Teilkörper mit 27 Elementen gibt, finde ich schon überraschend.

Wenn ich den Körper mit 27 Elementen mir als Polynome der Form
$\begin{eqnarray*} bx^{3} +c^{2} +dx + e \end{eqnarray*}$ vorstelle

und der Körper mit 81 Elementen
$\begin{eqnarray*} ax^{4} + bx^{3} +c^{2} +dx + e \end{eqnarray*}$ , a,b,c,d in Z/3Z.

mit übliche Addition und Multiplikation.

Was sind die "übliche" Addition und Multiplikation? Mit der "üblichen Multiplikation" hast du ja ganz schnell Polynome von einem Grad, der größer als 4 ist. Daher ist das eine ganz schlechte Vorstellung.
Bei den endlichen Körpern handelt es sich, wie gesagt, um Restklassenringe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_p[X] \end{eqnarray*}$ . Betrachte mal folgendes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_8 \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^3+X+1) \cong \mathbb{F}_2[X]/(X^3+X^2+1) \end{eqnarray*}$
Dabei weist etwa die Restklasse von $\begin{eqnarray*} X+1 \end{eqnarray*}$ im ersten Faktorring ein anderes Verhalten auf als im zweiten Ring:
$\begin{eqnarray*} (X+1)^3 \equiv X^3+X^2+X+1 \equiv \begin{cases}X^2 \pmod{X^3+X+1} \\ X \pmod{X^3+X^2+1}\end{cases} \end{eqnarray*}$
Von einer "üblichen Multiplikation" kann also nicht die Rede sein und man sollte auf jeden Fall mit Bedacht vorgehen, wenn man nur "in Polynomen" denkt.

Dass ein Körper mit $\begin{eqnarray*} 3^3 \end{eqnarray*}$ Elementen nicht Teilkörper eines Körpers mit $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ Elementen sein kann, sieht man schnell, denn der größere Körper ist ein Vektorraum über dem kleinen Körper. Das heißt die Anzahl der Elemente des großen Körpers muss eine Potenz der Anzahl der Elemente des kleinen Körpers sein.

18.03.2013, 17:59

Mathemass

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Ok, danke dir.
Werde mir mal die Verband Geschichte mal anschauen, dann sollte es glaube ich gehen.

18.03.2013, 20:12

tmo

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Es bleibt vielleicht noch eins zu bemerken:

Wenn man den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{81} \end{eqnarray*}$ hat und will damit den Körper mit 9 Elementen als Unterkörper realisieren, so betrachtet man einfach $\begin{eqnarray*} \{a \in \mathbb F_{81} | a^9-a = 0 \} \end{eqnarray*}$ . Dies ist gerade der $\begin{eqnarray*} \mathbb F_9 \end{eqnarray*}$ .

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