Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...

17.03.2013, 23:09

Panceco

Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...

Hallo,

ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, bei der ich einfach nicht weiterkomme :/

Die Aufgabe:
[attach]29118[/attach]

Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 (-1)^{2}\cdot \frac{1}{1} = 1 = \sum\limits_{k=2}^2 \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Induktionsvoraussetzung:
Sei die Aussage für n bewiesesn, nun gilt es zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} \frac{1} {k} = \sum\limits_{k=n+2}^{2n+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$
gilt.

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} \frac{1} {k} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1} {k} + (-1)^{k+1} \frac{1} {k} \end{eqnarray*}$

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + (-1)^{k+1} \frac{1} {k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + (-1)^{k} (-1) \frac{1} {k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + (-1)^{k} (-\frac{1} {k}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1^{k}} {k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} + \frac{1} {k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Nun wundere ich mich, dass ich als Startwert nicht k = n+2 hinbekommen, wobei ich mir auch nicht sicher bin, ob ich das dort brauche...

Schon mal Danke im voraus für Eure Hilfe smile

17.03.2013, 23:14

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...
im induktionsschritt willst du diese (siehe dein bild) behauptung (mit der variablen n) für n+1 zeigen, d.h. für die ersetzung von n durch n+1 (unter der annahme, dass sie für n gilt) - das heißt du setzt überall dort, wo ein n steht, ein n+1, um zu der zu zeigenden behauptung zu gelangen. bereits dort ist dein beweis gescheitert, denn einsetzten von n+1 in 2n liefert 2(n+1)=2n+2 und nicht 2n+1, was wohl das falsche ergebnis am ende deiner rechnung erklären sollte (ich habe die "rechnung" nicht kontrolliert).
lg

17.03.2013, 23:15

HAB

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RE: Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...
Der Induktionsanfang ist schon falsch.

Beim Induktionsschritt ist die Obergrenze der Summe 2(n+1)!!!

17.03.2013, 23:16

Panceco

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RE: Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...
Danke erstmal dafür smile

Werde es dann nochmal durchgehen Augenzwinkern

17.03.2013, 23:35

Panceco

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RE: Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...
Hab es nochmal durchgerechnet und komme auf

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+2} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Aber dennoch habe ich beim Startwert k=n+1 statt k=n+2

@Weisbrot
Deiner Aussage entnehme ich, dass meine Vermutung richtig war und dass ich auch beim Startwert auf k=n+2 kommen muss, nur weiß ich gerade nicht wie....

17.03.2013, 23:42

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion - Irgendetwas fehlt...
ja, das stimmt noch nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k}+\frac{1}{k}+\frac{1}{k} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+2} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

das ergibt auch nicht beonders viel sinn - was sind die beiden 1/k neben der summe?
du hast wohl einfach irgendwo noch einen indexfehler, weshalb einfach ein summand zuviel ist.
lg

17.03.2013, 23:51

Panceco

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Die beiden Summanden sind Umformungen von den beiden

$\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Aus der Summe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+2} k (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Was ja umgeformt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n} k (-1)^{k+1} \frac{1}{k} + k (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +k (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Sein müsste.

Die einzige Möglichkeit die mir einfällt, womit ich den Startwert um 1 erhöhen könnte, wäre es jedes k in der Summe um 1 zu erniedrigen und den Endwert um 1 zu erhöhen, oder liege ich da falsch?

18.03.2013, 00:26

weisbrot

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es gibt überall ein k vom formeleditor zuviel, also stellen wir uns mal vor das wäre nicht da.

das ding mit laufvariablen z.b. im summenzeichen ist, die machen nur im wirkungsbereich der summe sinn. man sagt auch k ist in der summe gebunden.
also, wenn man schreibt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n f(k) \end{eqnarray*}$ (für festes n und f), dann macht das sinn, man weiß was das bedeutet. aber soetwas wie $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n f(k) + g(k) \end{eqnarray*}$ ergibt überhaupt keinen sinn. im ersten term weiß man was es bedeutet - es ist in der summe gebunden und durchläuft alle nat. zahlen von 1 bis n. aber was sollte k im zweiten term sein??

die umformung die du versucht hast sollte vom prinzip her so laufen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n f(k) = \sum_{k=1}^{n-1} f(k) + f(n) \end{eqnarray*}$ usw.
wenn das nicht klar ist schreibe dir die summe als folge von summanden hintereinander hin und versuche da etwas abzuspalten.

lg

18.03.2013, 11:23

Panceco

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Natürlich, ist schon ne Weile her, dass ich mich an ner vollständigen Induktion versucht habe...

Also Nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+2} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} +(-1)^{n+3} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} +(-1)^{n}(-1)(-1)(-1)\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} +(-1)^{n}(-\frac{1}{n+2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} +\frac{1^{n}}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n}(-1)(-1) \frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Jetzt kommt wieder die mangelnde Erfahrung zum Tragen:
Ich würde den letzten Summanden nutzen, um die Obergrenze der Summe zu erhöhen:

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+1}^{2n+2} \frac{1}{k} - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

und den nun übrigen Summanden nutzen, um den Startwert zu erhöhen:

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=n+2}^{2n+2} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Wobei ich mir bei den letzten beiden Schritten überhaupt nicht sicher bin.
Kann man das so machen?

Danke für Eure Geduld und Hilfe

18.03.2013, 15:05

Grautvornix

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Zitat:

Original von Panceco
Natürlich, ist schon ne Weile her, dass ich mich an ner vollständigen Induktion versucht habe...

Also Nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{2n+2} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{n+2} \frac{1}{n+1} +(-1)^{n+3} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Schon die erste Gleichung ist falsch.

Besser wäre:

$\begin{eqnarray*} \ldots=\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k+1} \frac{1}{k} +(-1)^{2n+2} \frac 1{2n+1} +(-1)^{2n+3} \frac 1{2n+2}=\ldots \end{eqnarray*}$

Die Vorzeichen der 'herausgelösten' Summanden kannst Du nun bestimmen.
Außerdem wäre es jetzt an der Zeit die Induktionsvoraussetzung zu verbraten.

Übrigens wäre die zu zeigende Aussage mittels direkter Rechnung ein glatter Einzeiler.

18.03.2013, 15:23

weisbrot

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ich denke du solltest, wie ich vorgeschlagen hab, dir die summen mal als folgen ihrer summanden hinschreiben, um eben sicher zu sein, was genau da abgespalten wird - denn das hast du immernoch nicht richtig gemacht.
der (2n+2)-te summand z.b. ist der, wo du 2n+2 für k einsetzt, und nicht n+2 o.ä.
und dann andersrum beim vorletzten schritt, beim summanden in die summe schreiben, hast du den dualen fehler gemacht.
lg

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