Integral mit trig. substitution

17.03.2013, 23:14	Panini	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit trig. substitution Meine Frage: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{\sqrt{1-x} }{\sqrt{x}-x } \, dx , \left\{ \begin{pmatrix} \sqrt{x}=\sin(u) \\ dx=2 \sin(u) \cos(u) \\ \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int \! \frac{\sqrt{\cos^{2}(u) } }{1-\sin(u)}\cdot \cos(u) \, du \end{eqnarray}$ Weiterrechnen führt zu $\begin{eqnarray} =2\int \! \frac{\|\cos(u) \|\cos(u) }{1-\sin(u)} \, du \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\pm 2\int \! \frac{\cos^{2}(u) }{1-\sin(u)} \, du=\pm 2\int \! 1+\sin(u) \, du = \pm (2u - 2\cos(u) + k) \end{eqnarray}$ Mein Problem ist dieses +- ich finde das sehr unschön. Da ich schon weiss das Integrale (bis auf eine Konstante ) eindeutig bestimmt sind, ist klar dass entweder die + oder - Lösung falsch ist. Ich möchte das am liebsten ohne Ableiten rausfinden und bin mir auch sicher dass man das irgendwie im Vorraus sagen kann. Meine Ideen: Mein verzweifelter Versuch: $\begin{eqnarray} \sqrt{x} = \sin(u) \Rightarrow 0+k\cdot 2\pi \leq u\leq \pi+k\cdot 2\pi, k \in \mathbb Z. \end{eqnarray}$ Das lässt mich aber immer noch nicht viel über den Kosinus aussagen :/ Hilfe...
18.03.2013, 19:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Letztlich setzt du für $\begin{eqnarray} x = \sin^2 u \end{eqnarray}$ ein. Du mußt dir nun überlegen, für welche $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ du welche $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bekommst. Der Integrand ist nur für $\begin{eqnarray} x \in (0,1) \end{eqnarray}$ definiert, also mußt du ein $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Intervall bestimmen, das durch $\begin{eqnarray} x = \sin^2 u \end{eqnarray}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray} \left( 0 , 1 \right) \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Da kannst du das Intervall $\begin{eqnarray} \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right) \end{eqnarray}$ nehmen. Wenn wir also das, was sonst so großzügig übergangen wird, einmal streng aufschreiben, nämlich die genauen Gültigkeitsbereiche, dann lautet die Substitution so: $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ x = \sin^2 u \ \ \text{mit} \ \ u \in \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right) \, , \ x \in \left( 0 , 1 \right) \end{eqnarray}$ Und für diese $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sqrt{\cos^2 u} = \cos u \end{eqnarray}$ , denn der Cosinus ist hier positiv. Es ist mit anderen Worten in deiner Rechnung das Pluszeichen das richtige. Man könnte sich natürlich auch eine andere Substitution denken, zum Beispiel $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ x = \sin^2 u \ \ \text{mit} \ \ u \in \left( \frac{\pi}{2} , \pi \right) \, , \ x \in \left( 0 , 1 \right) \end{eqnarray}$ Wie du bemerkt hast, habe ich nur einen anderen Bereich für $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ gewählt. Auch der geht, weil dieses $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ -Intervall durch die Substitution ebenso bijektiv auf $\begin{eqnarray} \left( 0 , 1 \right) \end{eqnarray}$ abgebildet wird. In diesem Intervall ist der Cosinus aber negativ, d.h. es gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{\cos^2 u} = - \cos u \end{eqnarray}$ in deiner Rechnung: das Minuszeichen ist das richtige. Jetzt bist du vielleicht ganz verwirrt, weil einmal das Pluszeichen, einmal das Minuszeichen stimmt. Es hängt eben von der Substitution ab. Bei der Resubstitution wird sich alles wieder einrenken (beachte, daß der Sinus in beiden Fällen positiv ist): $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ x = \sin^2 u \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{x} = \sin u \ \ \Leftrightarrow \ \ u = \arcsin \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Dagegen: $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ x = \sin^2 u \ \ \Leftrightarrow \ \ \sqrt{x} = \sin u \ \ \Leftrightarrow \ \ u = \pi - \arcsin \sqrt{x} \end{eqnarray}$ Wenn ich hier vom Arcussinus rede, meine ich natürlich den klassischen Zweig, also mit Werten zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Die Rechnung geht folgendermaßen zu Ende (auf die Integrationskonstante verzichte ich beim unbestimmten Integral). Zunächst $\begin{eqnarray} \text{(1)} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x} - x} ~ \dd x = 2 \int \left( 1 + \sin u \right) ~ \dd u = 2 \left( u - \cos u \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2 \left( u - \sqrt{1 - \sin^2 u} \right) = 2 \left( \arcsin \sqrt{x} - \sqrt{1 - x} \right) \end{eqnarray}$ Dann bei $\begin{eqnarray} \text{(2)} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \int \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x} - x} ~ \dd x = -2 \int \left( 1 + \sin u \right) ~ \dd u = -2 \left( u - \cos u \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -2 \left( u + (!!!) \ \sqrt{1 - \sin^2 u} \right) = -2 \left( \pi - \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \right) = 2 \left( \arcsin \sqrt{x} - \sqrt{1 - x} \right) - 2 \pi \end{eqnarray}$ Bis auf eine additive Konstante stimmen die beiden Ergebnisse überein. Eine solche stört bei der unbestimmten Integration aber nicht. Und was lehrt uns das Ganze? Bei einer Substitution darf nicht rein formal gerechnet werden, sondern es müssen auch jedesmal die Intervalle für die Variablen der Substitution angegeben werden. Und 99 Prozent der Mathematiker halten sich genau daran nicht. Glücklicherweise geht es trotzdem in 99 Prozent aller Fälle gut. Und bei dem anderen Prozent fallen die Leute halt herein.
18.03.2013, 22:34	Panini	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Ausführliche Erklärung. Uns wurde das einfach nicht erklärt bei wiederholter Nachfrage konnte niemand wirklich drauf antworten, machmal frage ich mich wieso solche Sachen nicht deutlicher gemacht werden, ich bin sicher nicht der Einzige den so was verwirrt. Auf jeden Fall hat mir das sehr geholfen

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