Integration durch Substitution

18.03.2013, 00:26

iaskyouanswer

Integration durch Substitution

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gerechnet und bitte euch die mal zu überprüfen:

Mittels Substitution soll das Integral: $\begin{eqnarray*} \int \! x^{2} e^{x^{3} } \, dx \end{eqnarray*}$ gelöst werden.

Ich habe $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ substituiert:

$\begin{eqnarray*} t = x^{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[3]{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2} =t^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}= 2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{dt}{2t} \end{eqnarray*}$

übertragen auf das Integral:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \! e^{t^{\frac{3}{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$

1/2 habe ich vor das Integral geschrieben und t hat sich weggekürzt.

Die Stammfunktion wäre also:

$\begin{eqnarray*} [\frac{1}{3*t} e^{t^{\frac{3}{2} } } ] \end{eqnarray*}$

Stimmt die Rechnung so?

18.03.2013, 01:05

Helferlein

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Wie kommst Du auf $\begin{eqnarray*} \frac {dt}{dx}=2t \end{eqnarray*}$ ?
Zudem hast Du das $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ im Exponenten nicht durch t, sondern $\begin{eqnarray*} t^{\frac 32} \end{eqnarray*}$ ersetzt.

18.03.2013, 10:59

iaskyouanswer

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oh habe einen Fehler gemacht. Ich habe so substituiert: $\begin{eqnarray*} t=x^{2} \end{eqnarray*}$

deshalb habe ich auch $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{2t} \end{eqnarray*}$ heraus. Durch Umformungen kann x^3 im Exponenten von e in t^(3/2) substituieren.

18.03.2013, 11:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von iaskyouanswer
oh habe einen Fehler gemacht. Ich habe so substituiert: $\begin{eqnarray*} t=x^{2} \end{eqnarray*}$

Aber $\begin{eqnarray*} t=x^3 \end{eqnarray*}$ wäre richtig gewesen. Und dann berechne mal ordentlich $\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$ .

18.03.2013, 11:02

RavenOnJ

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Nichtsdestotrotz ist $\begin{eqnarray*} t=x^3 \end{eqnarray*}$ die bessere Substitution, da sich dann alles gut auflöst.

18.03.2013, 11:46

iaskyouanswer

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ok, wäre das dann so richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = \frac{d(x^{3}) }{dx} \Rightarrow dx=\frac{dt}{3*t^{\frac{2}{3} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! e^{t} \, dx \Rightarrow \frac{1}{3} \left[e^{t} \right] \end{eqnarray*}$

18.03.2013, 12:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von iaskyouanswer
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! e^{t} \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn, dann so: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! e^{t} \, dt \end{eqnarray*}$

Wobei mir das ganze formal nicht besonders gefällt. So würde ich vorgehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx} = \frac{d(x^3) }{dx} = 3x^2 \Rightarrow dt = 3x^2 \cdot dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot e^{x^3}~dx = \frac 1 3 \int e^{x^3} \cdot 3x^2 ~dx = \frac{1}{3} \int \! e^{t} \, dt = \frac{1}{3} e^t + c \end{eqnarray*}$

18.03.2013, 12:59

iaskyouanswer

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ok. Dann vielen Danke für eure Hilfe.

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