Fourier-Reihe

18.03.2013, 08:31

Der Ehrgeizige

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Fourier-Reihe

Meine Frage:
Guten, ich hoffe sonnigen Morgen.

Meine Aufgabe: Wir wollen die Funktion f(x)=2x auf dem Intervall
$\begin{eqnarray*} I=[-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ durch eine Fourier-Reihe darstellen.

a) Wie lässt sich allgemein eine geeignete Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ als Fourier-Reihe darstellen?

b) Zeigen Sie, dass
$\begin{eqnarray*} \int \! xe^{ax} \, dx = \frac{ax-1}{a^2} e^{ax} \end{eqnarray*}$

c) Berechnen Sie nun für $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x \end{eqnarray*}$ die Fourier-Reihe.

Meine Ideen:
a) das ist doch gemeint: $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,d t. \end{eqnarray*}$

Also b) ist ja prinzipiell schnell gezeigt man muss ja "nur" die Stammfunktion ableiten, dann ist es auch getan ?

Und c) bringt mich vor die meisten Schwierigkeiten, wie ich das ausführen soll.

Danke sehr.

18.03.2013, 11:03

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Zu a): Du hast das Fourierintegral hingeschrieben. Damit geht's natürlich auch, leichter wirst Du Dich allerdings mit der Fourier-Reihe tun, also mit der Summenformel und komplexen Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac T2}^{\frac T2} \! f(x) e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$

Zu b): Ja, das ist richtig.

Zu c): Einfach einsetzen. Wenn was unklar ist, frag ruhig.[/b]

Viele Grüße
Steffen

18.03.2013, 13:39

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Zu a): Du hast das Fourierintegral hingeschrieben. Damit geht's natürlich auch, leichter wirst Du Dich allerdings mit der Fourier-Reihe tun, also mit der Summenformel und komplexen Koeffizienten:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac T2}^{\frac T2} \! f(x) e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$

Und was ist jetzt der Unterschied zu:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{F}\{f(t)\} = F(\omega)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i \omega t} \,d t. \end{eqnarray*}$ ??? Wieso ist es einfacherer, wann wendet man was an ?

Einfach nur einsetzen ist gut verwirrt

verwirrt

Big Laugh

18.03.2013, 13:46

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Wieso ist es einfacherer, wann wendet man was an ?

Das Integral brauchst Du bei nichtperiodischen Vorgängen, einzelnen Impulsen zum Beispiel. Da ist das Spektrum kontinuierlich, während bei einer periodischen Sägezahnschwingung wie hier das Spektrum nur aus einzelnen Linien besteht.

Daher ist es leichter, gleich die Reihe zu berechnen, beim Integral würden halt einzelne Diracfunktionen rauskommen, das Ergebnis ist natürlich dasselbe. Außerdem ist durch die Aufgabe ja auch die Reihe gefordert.

Viele Grüße
Steffen

18.03.2013, 13:54

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac T2}^{\frac T2} \! f(x) e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$

Okay ich versuch's mal.

Was ist denn unser T ? Also zuerst das $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ zuerst ausrechnen und dann einsetzen?

also:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac \pi 2}^{\frac \pi 2} \! 2x e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$ ?

Und nun ?

18.03.2013, 13:58

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
T ist die Periode. Der Sägezahn geht ja von $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} + \pi \end{eqnarray*}$ und fängt dann wieder an.

Und $\begin{eqnarray*} \omega = \frac {2 \pi}T \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

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18.03.2013, 14:00

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Also ist $\begin{eqnarray*} T=2 \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \omega=1 \end{eqnarray*}$ ?

18.03.2013, 14:02

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Richtig. Und fürs Knacken des Integrals ist ja in der Aufgabe auch schon Schützenhilfe gegeben.

Viele Grüße
Steffen

18.03.2013, 14:05

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac T2}^{\frac T2} \! f(x) e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1 2\pi \int_{- \frac \pi 2}^{\frac \pi 2} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

Und was ist nochmal das k ? Danke dir. Freude

Freude

18.03.2013, 14:12

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Die Integralgrenzen stimmen noch nicht und das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ muss in den Nenner.

Der Index k steht für die einzelnen Spektralanteile. Die Anteile der Grundfrequenz $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ergeben sich für k=1, dann die der doppelten Grundfrequenz $\begin{eqnarray*} 2 \omega \end{eqnarray*}$ für k=2 und so weiter. Für k=0 ergibt sich der Gleichanteil.

Viele Grüße
Steffen

18.03.2013, 14:26

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} c_k \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac 1T \int_{- \frac T2}^{\frac T2} \! f(x) e^{-ik \omega x}\, dx \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

Aber das k behandeln wir sozusagen als einfach eine konstante Variable ? Ich mein der Berechnung jetzt ?

18.03.2013, 14:28

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Richtig. Zusammen mit dem -i entspricht das dann dem a in der Formel, die in b) genannt wurde.

18.03.2013, 15:10

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Okay dann setze ich mal ein:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \cdot e^{i k \omega x } \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

Kann man ja umformen zu:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, \cdot e^{i k \omega x }dx=\sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{2(k+x)}\, dx \end{eqnarray*}$

Wegen der Notation ? Bleibt das Summezeichen da drinne stehen oder lässt man das dann weg ?

$\begin{eqnarray*} ...=\sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{2(k+x)}\, dx \end{eqnarray*}$

Das müsste man jetzt mit partieller Integration lösen ?

18.03.2013, 15:36

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Nein, die e-Funktion außerhalb des Integrals kann man nicht einfach ins Integral ziehen, die wird ja nicht integriert.

Du musst erst einmal nur das ck ausrechnen. Dabei hilft Dir die in b) genannte Stammfunktion.

Erst dann setzt Du das dann in die Summenformel ein.

18.03.2013, 19:30

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

Ja das mit der 2 ist aber problematisch bei der Integration, ich wüsste jetzt nicht wo ich die hinbasteln soll.

$\begin{eqnarray*} \int \! xe^{ax} \, dx = \frac{ax-1}{a^2} e^{ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2+2ikx) e^{-ikx}}{k^2} \end{eqnarray*}$

Hab die jetzt irgendwie reingebastelt: Aber wieso ändert sich das Vorzeichen ?

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx=\frac {1}{2\pi} \frac{(2+2ikx) e^{-ikx}}{k^2}|_{-\pi}^{\pi}=\frac {1}{2\pi} \frac{(2+2ik\pi) e^{-ik\pi}}{k^2}-(\frac {1}{2\pi} \frac{(2-2ik\pi) e^{ik\pi}}{k^2}) \end{eqnarray*}$

Und sieht es ziemlich grauenhaft aus und ich weiß nicht weiter verwirrt

verwirrt

Ich habe es auf dem Schmierzettel ausmultipliziert und das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \end{eqnarray*}$ ausgeklammert doch das hilft irgendwie nicht wirklich.

19.03.2013, 09:01

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Ja das mit der 2 ist aber problematisch bei der Integration, ich wüsste jetzt nicht wo ich die hinbasteln soll.

Die bastelst Du einfach vors Integral, sie ist ja ein konstanter Faktor.

Jetzt?

19.03.2013, 09:19

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! xe^{ax} \, dx = \frac{ax-1}{a^2} e^{ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \int_{-\pi}^{\pi} \! x e^{-ik x}\, dx=\pi \frac{(-ikx-1) e^{-ikx}}{k^2}|_{-\pi}^{\pi}=\pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{k^2}) \end{eqnarray*}$

Okay, aber jetzt stehe ich auch vor dem Problem wie kriege ich das jetzt vereinfacht ?

19.03.2013, 09:45

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Beim Quadrieren von -ik ist anscheinend im Nenner ein Minuszeichen abhanden gekommen, oder?

Ansonsten überleg Dir doch mal, was $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ ist.

19.03.2013, 09:51

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Wieso soll ein Minus im Nenner abhandengekommen sein? $\begin{eqnarray*} -i^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^i e^{\pi}=e^{i \pi} \end{eqnarray*}$ ??? Alles Gute zum Geburtstag Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.03.2013, 10:06

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} -i^2=1 \end{eqnarray*}$

Ja, aber es geht um $\begin{eqnarray*} (-i)^2=(-1)^2 \cdot i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} e^i e^{\pi}=e^{i \pi} \end{eqnarray*}$ ?

Richtig. Und wo liegt diese Zahl in der komplexen Ebene? Was sind Real- und Imaginärteil?

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Alles Gute zum Geburtstag Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich danke Dir.

Viele Grüße
Steffen

19.03.2013, 10:18

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ja, aber es geht um $\begin{eqnarray*} (-i)^2=(-1)^2 \cdot i^2 = -1 \end{eqnarray*}$

Okay. Aber wo haben wir das denn ?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} e^i e^{\pi}=e^{i \pi} \end{eqnarray*}$
Richtig. Und wo liegt diese Zahl in der komplexen Ebene? Was sind Real- und Imaginärteil?

$\begin{eqnarray*} Im=e^i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Re=e^{\pi} \end{eqnarray*}$ Wo sie liegt gute Frage ? $\begin{eqnarray*} e^{\pi} \end{eqnarray*}$ auf der "x-Achse" und $\begin{eqnarray*} e^i \end{eqnarray*}$ auf der "y-Achse" ?

19.03.2013, 10:24

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Aber wo haben wir das denn ?

Das a aus der Formel, die Du hernimmst, ist doch (-ik). Und das quadriert ergibt eben -k². Du musst ja alles quadrieren.

Was den Rest betrifft: kennst Du die Eulersche Formel noch nicht?

19.03.2013, 10:40

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Das a aus der Formel, die Du hernimmst, ist doch (-ik). Und das quadriert ergibt eben -k². Du musst ja alles quadrieren.

Ja stimmt -.- traurig

traurig

ja die Eulerformel hab ich mal gesehen, aber naja. Aber das ändert doch nicht viel am Integral, oder ? das $\begin{eqnarray*} -k^2 \end{eqnarray*}$ ?

19.03.2013, 11:02

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
die Eulerformel hab ich mal gesehen

Gut! Was ist also $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot \pi} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Aber das ändert doch nicht viel am Integral, oder ? das $\begin{eqnarray*} -k^2 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, das ist nur ein Vorzeichenfehler. Jetzt geht's hauptsächlich um die Vereinfachung, eben über die Eulerformel.

19.03.2013, 11:21

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Also:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi} = -1 \end{eqnarray*}$

Aber da steht ja überall noch ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dabei ? Auseinanderziehen? bestimmt ?

19.03.2013, 11:27

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\pi} = -1 \end{eqnarray*}$

So ist es.

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Aber da steht ja überall noch ein $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ dabei ?

Das stört keinen großen Geist. Dann wird's eben $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ . So etwas gibt's bei Fourierreihen oft.

19.03.2013, 11:41

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Das stört keinen großen Geist. Dann wird's eben $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ . So etwas gibt's bei Fourierreihen oft.

Öhm $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ ? Wie das denn hab jetzt eher an etwas anderes gedacht und zwar an
$\begin{eqnarray*} e^{ik\pi}=e^{i\pi}e^{k}=-e^{k} \end{eqnarray*}$ oder ?
Und was ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-ikx} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \int_{-\pi}^{\pi} \! x e^{-ik x}\, dx=\pi \frac{(-ikx-1) e^{-ikx}}{-k^2}|_{-\pi}^{\pi}=\pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{-k^2}) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste man die Eulerformel ausnutzen aber nach der Integration, oder?

$\begin{eqnarray*} c_k...=\pi \frac{(-ik\pi-1) (-e^{-k})}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) (-e^{k})}{-k^2}) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Hm Bier am Morgen vertreibt Kummer und Sorgen prost auf deinen Geburtstag Prost

Prost

19.03.2013, 11:48

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} e^{ik\pi}=e^{i\pi}e^{k}=-e^{k} \end{eqnarray*}$

...

Bier am Morgen vertreibt Kummer und Sorgen

Sollte man aber nicht gleichzeitig mit Mathematik betreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} a^{x \cdot y} \neq a^x \cdot a^y \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 12:01

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Ouh ja das ist was dran. Jetzt weiß ich aber komplett nicht weiter.

19.03.2013, 13:00

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Du hast doch

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{-k^2}) \end{eqnarray*}$

Das mit $\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} \end{eqnarray*}$ ist geklärt, jetzt kannst Du das weiter vereinfachen.

19.03.2013, 13:02

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du hast doch

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{-k^2}) \end{eqnarray*}$

Das mit $\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} \end{eqnarray*}$ ist geklärt, jetzt kannst Du das weiter vereinfachen.

Ja das $\begin{eqnarray*} c_k \end{eqnarray*}$ ist so gegeben aber wie soll ich das jetzt vereinfachen ?

Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} a^{x \cdot y} \neq a^x \cdot a^y \end{eqnarray*}$

Das funkt ja nicht ? verwirrt

verwirrt

19.03.2013, 13:07

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Zum Beispiel mal alles auf einen Nenner bringen.

Zum Beispiel alle $\begin{eqnarray*} e^{ik \pi} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ ersetzen.

Zum Beispiel ein bisschen zusammenfassen.

19.03.2013, 13:11

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Ahsooo okay aber wieso ist denn
$\begin{eqnarray*} e^{ik \pi}=(-1)^k \end{eqnarray*}$ ?

Da ist mir nicht so gar nicht klar.

$\begin{eqnarray*} e^{i\pi}=-1 \end{eqnarray*}$ okay das verstehe ich aber wieso das erste so ist ?

PS: Sry, dass ich dir deinen wichtigsten Tag im Jahr so vermiese..

19.03.2013, 13:13

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
$\begin{eqnarray*} e^{i\pi}=-1 \end{eqnarray*}$ okay das verstehe ich

Dann nimm doch mal auf beiden Seiten hoch k.

19.03.2013, 13:19

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
Ou man das habe ich nicht gesehen also jetzt wird es mir klar.. danke^^
$\begin{eqnarray*} e^{i\pi}=-1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |()^{k} \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} e^{-i \pi k}=(-1)^{-k} \end{eqnarray*}$ oder ?

Okay dann ran an den Speck.

19.03.2013, 13:35

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Und $\begin{eqnarray*} e^{-i \pi k}=(-1)^{-k} \end{eqnarray*}$ oder ?

Richtig.

Zitat:

Original von Der Ehrgeizige
Okay dann ran an den Speck.

Viel Spaß.

19.03.2013, 13:38

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} c_k = \frac {1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \! 2x e^{-ik x}\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! xe^{ax} \, dx = \frac{ax-1}{a^2} e^{ax} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \int_{-\pi}^{\pi} \! x e^{-ik x}\, dx=\pi \frac{(-ikx-1) e^{-ikx}}{k^2}|_{-\pi}^{\pi}=\pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{k^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\pi \frac{(-ikx-1) (-1)^{-k}}{-k^2}|_{-\pi}^{\pi} \end{eqnarray*}$

Und ich bleibe bei folgender Sache hängen:

$\begin{eqnarray*} (-ikx-1) (-1)^{-k}=(-1)^{1-k}+ikx\cdot1^{-k} \end{eqnarray*}$

mehr kann ich doch nicht bei $\begin{eqnarray*} ikx\cdot1^{-k} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen ?

19.03.2013, 13:48

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{-k^2} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{i \pi} = e^{- i \pi} = -1 \end{eqnarray*}$ . Klar, oder? Also

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) (-1)^k}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) (-1)^k}{-k^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt auf einen Bruchstrich, den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen.

19.03.2013, 13:55

Der Ehrgeizige

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RE: Fourier-Reihe

Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) e^{-ik\pi}}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) e^{ik\pi}}{-k^2} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} e^{i \pi} = e^{- i \pi} = -1 \end{eqnarray*}$ . Klar, oder? Also

$\begin{eqnarray*} c_k = \pi \frac{(-ik\pi-1) (-1)^k}{-k^2}- \pi \frac{(ik\pi-1) (-1)^k}{-k^2} \end{eqnarray*}$ .

Wieso steht denn jetzt bei beiden ein positives $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ im Zähler $\begin{eqnarray*} (-1)^{k} \end{eqnarray*}$ ? müsste nicht links im Zähler ein $\begin{eqnarray*} (-1)^{-k} \end{eqnarray*}$ stehen ?

Ich hab's auf einen Bruchstrich geschrieben, aber zusammenfassen wie ? Wolfram-Alpha hat auch keine Idee und das ist sehr traurig unglücklich

unglücklich

19.03.2013, 15:28

Steffen Bühler

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RE: Fourier-Reihe
Potenzregeln:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{-k} = \left( \frac {-1}{1}\right)^{-k} = \left( \frac {1}{-1}\right)^{k} = (-1)^{k} \end{eqnarray*}$

Was das Zusammenfassen betrifft: im Zähler fällt doch jetzt einiges raus.

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