Erwartungswert und Varianz berechnen

18.03.2013, 14:08

Wiing25

Erwartungswert und Varianz berechnen

Meine Frage:
Hallo, sitze vor folgender Aufgabe und komme nicht weiter:
Eine Fußballmanschaft schiesst immer nur höchstens zwei Tore. Sei X die Anzahl der Tore, die sie in einem Spiel schiessen. Man weiß, dass P (X = 0) = 2 · P (X = 1) und P (X = 1) = P (X = 2).
1. Bestimmen Sie die Verteilung von X.
2. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
3. Die Mannschaft spielt 10 mal. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz der mittleren Anzahl der erzielten Tore in diesen 10 Spielen, unter der Annahme, dass diese 10 Spiele unabha ?ngig voneinander ablaufen. Modelieren Sie dazu die Spielergebnisse der einzelnen Spiele mit geeig- neten Zufallsvariablen Xi, i = 1, . . . , 10.

Meine Ideen:
was ich bisher gemacht habe:

1. P(X) = 2/4, x=0; 1/4, x=1; 1/4, x=2, also F(X) = 2/4, x<=0; 3/4, x<=1; 1, x<=2

2. E(X) = 3/4; V(X) = 11/16

3. n =10; Xi = Ergebnis des i-ten Spiels mit i=1,...,10

da weiß ich nun nicht, wie ich das angehen soll ... wer kann mir dazu einen tipp geben?

18.03.2013, 14:24

HAL 9000

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(a) Es gilt $\begin{eqnarray*} E\left( \sum_{k=1}^n X_k \right) = \sum_{k=1}^n E\left(X_k \right) \end{eqnarray*}$ für jede beliebige Summe vo Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ , sofern diese Erwartungswerte rechts überhaupt existieren.

(b) Es gilt $\begin{eqnarray*} V\left( \sum_{k=1}^n X_k \right) = \sum_{k=1}^n V\left(X_k \right) \end{eqnarray*}$ unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ auch unabhängig sind, natürlich wiederum die Einzelvarianzen $\begin{eqnarray*} V(X_k) \end{eqnarray*}$ alle existieren.

Damiit sollte Erwartungswert- und Varianzberechnung bei 3. auf der Basis von 2. möglich sein.

P.S. zur Symbolik: Dein $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ ist nicht wirklich guter Stil, üblich ist da

$\begin{eqnarray*} P(X=x) = \begin{cases} \frac{2}{4} & \;\mbox{für}\, x=0 \\ \frac{1}{4} & \;\mbox{für}\, x=1 \\ \frac{1}{4} & \;\mbox{für}\, x=2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

evtl. auch nur abgekürzt $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p(x) \end{eqnarray*}$ , aber keinesfalls $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ - da fehlt der Bezug zum Argument $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Gleiches trifft auf $\begin{eqnarray*} F(X) \end{eqnarray*}$ zu, dort steht $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ bzw. wenn man den Bezug zur Zufallsgröße halten will, auch $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ Meiner Erfahrung nach korrespondiert nachlässiges Verhalten der Groß- und Kleinschreibung in der Stochastik meist mit inhaltlichen Verständnisschwierigkeiten: Denn die saubere Trennung zwischen Zufallsgrößen (durch Großbuchtstaben gekenntzeichnet) und normalen reellen Zahlen, wie etwa den Funktionsargumenten (durch Kleinbuchstaben gekenntzeichnet) geschieht zur besseren Lesbarkeit und Verständlichkeit.

18.03.2013, 14:35

Wiing25

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vielen dank, habs denke ich verstanden. der schlechte schreibstil resultiert weitestgehend daraus, dass ich am ipad sitze Augenzwinkern

komme dann also auf E(X) = 7,5 und V(X) = 6,875 ...?!

18.03.2013, 15:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wiing25
der schlechte schreibstil resultiert weitestgehend daraus, dass ich am ipad sitze

Nochmal: Ich meinte nicht das fehlende LaTeX mit den schönen geschweiften Klammern etc., sondern die Verwechslung von X und x - und mit dem Tippen von Kleinbuchstaben scheinst du ja eigentlich keine Mühe zu haben. Augenzwinkern

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