rotationsfreier Wirbel in 3D

18.03.2013, 14:16

thomas2013

rotationsfreier Wirbel in 3D

Meine Frage:

Hallo zusammen,
irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch. Ich möchte gerne einen Geschwindigkeitsvektor für ein rotationsfreien Wirbel im dreidimensionalen Raum aufstellen.
In 2D sähe es folgendermaßen aus bei einem Quadrat der Kantenlänge 1:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.5-y \\ x-0.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wie muss ich diesen Vektor in 3D bei einem Würfel der Kantenlänge 1 aufstellen?
Wäre super wenn mir hier jemand weiterhelfen kann.Danke
Viele Grüße

Meine Ideen:
Habe schon einiges versucht, leider stehe ich auf dem Schlauch. Wenn ich besipielsweise, den 2D Vektor für je eine Kombination im 3D-Raum mache, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} z-y \\ x-z \\ y-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , nur leider habe ich dann nicht meine Nullgeschwindigkeit bei (0.5,0.5,0.5)

18.03.2013, 16:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von thomas2013
Ich möchte gerne einen Geschwindigkeitsvektor für ein rotationsfreien Wirbel im dreidimensionalen Raum aufstellen.

Irgendeinen solchen? Denn andere Bedingungen hast du ja nicht genannt, wie wäre es also mit dem Geschwindigkeitsvektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

der ist ganz sicher rotationsfrei, aber viele andere auch (z.B. Gradientenfelder eines beliebigen skalaren Potentials).

18.03.2013, 18:39

Thomas 2013

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De Geschwindigkeitsvektor sollte schon ungleich 0 sein Augenzwinkern

Wie er ansonsten ausschaut ist mir eigentlich egal. Hintergrund ist der, dass eine Kugel Planetenmäßig um das Zentrum gedreht werden soll. Notfalls würde mir auch ein Feld helfen, welches Zylindrisch aufgebaut ist, deren 0 Geschwindigkeitsachse von (0,0,0) nach (1,1,1) gehen würde

18.03.2013, 18:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Thomas 2013
Notfalls würde mir auch ein Feld helfen, welches Zylindrisch aufgebaut ist, deren 0 Geschwindigkeitsachse von (0,0,0) nach (1,1,1) gehen würde

Versuche doch bitte mal alle, und wirkliche alle Bedingungen/Wünsche an dieses Feld zusammenzutragen. Ich kenne nämlich diese Art Anfragen "eigentlich ist es mir egal...", und wenn man dann ein Beispiel nennt, werden immer neue Forderungen und Wünsche gestellt ... ich kann nicht sagen, dass ich einen derartigen Fragstil besonders mag. Also: Alle Karten sofort auf den Tisch, sonst bin ich weg.

18.03.2013, 19:22

thomas 2013

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Ich kann dich verstehen. Also hier etwas genauer, wobei dies wohl immer noch etwas Spiel lässt. Soweit ich mittlerweile herausgefunden habe, gibt es doch kein rotationsfreien Wirbel in 3D und ich habe mich doch nicht zu dumm angestellt.
Daher spezifiziere ich meine Anforderungen leicht anders: Ich hätte gerne ein Geschwindigkeitsfeld im Einheitswürfel mit Mittelpunkt (0.5,0.5,0.5). In diesem möchte ich gerne eine Kugel bewegen in einer Kreisbewegung. Diese Bewegung soll nicht nur auf eine Raumebene ala x-Ebene stattfinden, sondern im ganzen Raum, möglichst von einer Ecke zur Anderen. Der Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zum Mittelpunkt des Würfels sollte möglichst konstant sein, ansonsten sollte die Startpositon der Kugel in spätestens 3 Umdrehungen wieder erreicht werden.
Hoffe dies ist verständlich und du kannst mir weiterhelfen

18.03.2013, 21:00

Che Netzer

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Eine Kreisbewegung, die nicht innerhalb einer Ebene stattfindet?

Naja, ich versuche mal, deine Formulierungen etwas zu präzisieren.
Du suchst ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v\colon[0,1]^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , so dass eine Bahnkurve $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \dot x=v(x) \end{eqnarray*}$ erfüllt, der Bedingung $\begin{eqnarray*} \lvert x(t)-M\rvert=\mathrm{const} \end{eqnarray*}$ genügt, wobei $\begin{eqnarray*} M=\frac12\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Und außerdem soll $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1]^3\setminus M \end{eqnarray*}$ nullstellenfrei sein?
Dann bezweifle ich, dass sich ein solches $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ finden lässt, wenn es außerdem stetig sein soll.

Zitat:

ansonsten sollte die Startpositon der Kugel in spätestens 3 Umdrehungen wieder erreicht werden.

Was meinst du denn mit einer Umdrehung?

18.03.2013, 21:17

thomas 2013

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Zitat:

Eine Kreisbewegung, die nicht innerhalb einer Ebene stattfindet?

Natürlich soll die Kreisbewegung in einer Achse verlaufen, sie soll nur nicht mit der Ebene der Achsen des Koordinatensystems übereinstimmen (bspw. eine Seite des Würfels). Sonst könnte ich ja einfach den 2d Vektor mit z=0 nutzen.

Zitat:

Und außerdem soll $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,1]^3\setminus M \end{eqnarray*}$ nullstellenfrei sein?

v muss nicht nullstellenfrei sein. in meinem 2d Beispiel ist der Punkt (0.5,0.5) ja auch 0.

Zitat:

Was meinst du denn mit einer Umdrehung?

Mit einer Umdrehung meine ich, den Vorgang bei dem sich eine Kugel um den Mittelpunkt einmal 360° gedreht hat. Bei konstanten Abstand dürfte jedoch nur eine Umdrehung möglich sein

18.03.2013, 21:22

Che Netzer

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Zitat:

Original von thomas 2013
v muss nicht nullstellenfrei sein. in meinem 2d Beispiel ist der Punkt (0.5,0.5) ja auch 0.

Deswegen habe ich auch von $\begin{eqnarray*} [0,1]^3\setminus\{M\} \end{eqnarray*}$ gesprochen (wobei ich die Mengenklammern verschlampt habe...).
Darf $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ außerhalb des Mittelpunkts Nullstellen haben? D.h. gab es Stellen geben, an denen die Kugel stillsteht, wenn man sie dort platziert?

Zitat:

Was meinst du denn mit einer Umdrehung?

Mit einer Umdrehung meine ich, den Vorgang bei dem sich eine Kugel um den Mittelpunkt einmal 360° gedreht hat. Bei konstanten Abstand dürfte jedoch nur eine Umdrehung möglich sein[/quote]
Diese Drehung um $\begin{eqnarray*} 360^\circ \end{eqnarray*}$ müsstest du wohl etwas spezifischer beschreiben...
Zumindest, wenn die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt sein soll.

19.03.2013, 03:03

thomas 2013

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1)Die Kugel darf auch an anderen Punkten im Feld stillstehen. Ich habe ja in meinem dritten Post den Wunsch nach einem rotationsfreiem Wirbel aufgegeben.

2) Damit das mit dem Umdrehung klarer wird, sage ich jetzt einfach mal, die Kugel soll nach einer gewissen Zeit x wieder auf ihrer Startposition ankommen. Also keine weitere Einschränkung diesbezüglich.

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