Ebenenbestimmung mit Parametern

18.03.2013, 16:54

For-Real

Ebenenbestimmung mit Parametern

Hallo, ich habe mal wieder eine Aufgabe mit Vektoren smile

Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} g: \vec x =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r* \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_1 : \vec x = \begin{pmatrix} -3 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aufgaben:

1) a) Nachweiß, dass Gerade in $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ liegt. (schon gemacht mit Gleichsetzen $\begin{eqnarray*} g \cap E_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lsg.)
b) Besondere Lage der Geraden $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ erläutern. (Auch gemacht, verläuft in einer Ebene, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x-y- \end{eqnarray*}$ Achse verläuft.)

2) a) Die Ebenen $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ besitzen beide mit der Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Schnittgerade.
Die Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray*} A(-9|-4|a) \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie die Koordinate $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass die Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ parallel zur xy-Ebene verläuft.

b)
Die Ebene $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray*} B(5|5|b), b\epsilon \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage für jedes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gültig ist:
Jede Ebene $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ enthält auch die z-Achse.

Die Probleme hab ich eigentlich nur bei Aufgabe 2.

Zu a):

Ich hätte $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als Stützvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ genommen und dann die Richtungsvektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genommen.

Weiterhin hätte ich gedacht, dass ja $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ in der Ebene liegen muss (Schnittgerade) und somit gesagt, dass $\begin{eqnarray*} a=3 \end{eqnarray*}$ sein muss. Deshalb, weil $\begin{eqnarray*} g \parallel xy \end{eqnarray*}$ und selbiges auch für $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Zu b):
Hier fehlt mir der Durchblick bzw. das Verständnis der Aufgabe..

Ich hoffe ihr versteht mich smile

MfG

Edit:// Kann sein dass ich in Geometrie besser angesiedelt wäre, Verschieben wäre also vielleicht angebracht. Sorry geschockt

18.03.2013, 18:32

original

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RE: Ebenenbestimmung mit Parametern

Zitat:

Original von For-Real

1) a)

(Auch gemacht, verläuft in einer Ebene, die parallel zur $\begin{eqnarray*} x-y- \end{eqnarray*}$ Achse verläuft.)[/COLOR]

was ist das denn für eine ACHSE?
vielleicht meinst du ja, parallel zur x-y-Ebene ??
-> g ist ja in der Ebene z=3 .. oder?

Zitat:

Original von For-Real
2) a) Die Ebenen $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ besitzen beide mit der Ebene $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ die Gerade $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Schnittgerade.
Die Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray*} A(-9|-4|a) \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie die Koordinate $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ so, dass die Ebene $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ parallel zur xy-Ebene verläuft.

was meinst du dazu:
g und A sollten möglicherweise beide in der zur x-y-Ebene parallelen Ebene z=3 liegen?
könnte da a= 3 sein ?

Zitat:

Original von For-Real
b)
Die Ebene $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ verläuft durch den Punkt $\begin{eqnarray*} B(5|5|b), b\epsilon \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage für jedes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gültig ist:
Jede Ebene $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ enthält auch die z-Achse.

wie wärs damit:
kannst du die Gleichung einer Ebene aufschreiben, die die Gerade g und die Gerade Namens z-Achse enthält?
ja?
dann kannst du schauen, ob alle möglichen B darin herumliegen..
oder nicht ..

smile

18.03.2013, 18:50

For-Real

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Hey,

also das mit a=3 hatte ich ja bereits gesagt Big Laugh

Zur anderen Aufgabe;

so eine Ebene wäre doch:

Ebene aus Geradengleichung g + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * den Richtungsvektor der Z-Achse, also:

$\begin{eqnarray*} E_{neu}: \vec x =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+ \lambda * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Richtig?

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