Urnenmodell - Zufallsvariablen

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systa Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell - Zufallsvariablen
Moin Leute,

ich sitze grade an einer Aufgabe und bin mir nicht sicher ob meine Lösungen richtig sind.

Die Aufgabe:
Urne 1 enthalte 5 weiße und 3 schwarze Kugeln
Urne 2 enthalte 4 weiße und 5 schwarze Kugeln
Urne 3 enthalte 3 weiße und 7 schwarze Kugeln:

Aufgabenstellung 1:
Aus jeder Urne wird zufällig eine Kugel entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei dieser Kugeln weiß sind.

Meine Lösung:
Insgesamt sind 12 weiße und 15 schwarze Kugeln vorhanden, Gesamtanzahl der Kugeln ist 27.
P(Weiß wird gezogen) = 12/27 = 0,44
P(Schwarz wird gezogen) = 15/27 = 0,56

Es gibt , daher 3 Möglichkeiten, 2 weiße Kugeln in einer drei-elementigen Menge unterzubringen.

Daraus folgt:

Beziehungsweise mit:

Aufgabenstellung 2:
Eine Urne wird zufällig ausgewählt. Aus dieser Urne werden 4 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten, dass sich darunter keine weißen Kugeln befinden.

Meine Lösung:
Das obige Modell bzw. den ersten obigen Lösungsweg kann ich nicht anwenden, da hier ohne Zurücklegen.





Mein Ergebnis ist jetzt die Summe dieser Ereignisse: 0%+3,97%+16,7% = 20,64%

Aufgabenstellung 3:
Eine Kugel wird zufällig aus Urne 1 gezogen und in Urne 2 gelegt. Dann wird aus Urne 2 eine Kugel gezogen und in Urne 3 gelegt. Nun wird aus Urne 3 eine Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese zufällig aus Urne 3 gezogene Kugel weiß ?

Meine Lösung:
Meine Lösung umfasst 3 "Etappen, je eine für eine der drei Urnen. Die erste Etappe besitzt zwei mögliche Ereignisse:
P(Weiß wird gezogen) und P(Schwarz wird gezogen)

Die zweite Etappe besitzt nur schon Elemente, die dritte Elemente und verweist jeweils auf die vorher gehenden Ergebnisse:

Insgesamt gibt es also verschiedene Möglichkeiten aus Urne 3 eine Kugel zu ziehen wobei sich diese Zahl aufteilt in 4xWeiß und 4xSchwarz

Ich habe das ganze aufgeschrieben und dann rekursiv eingesetzt, mir ist dann aufgefallen, dass ein Baum wesentlich schöner ist:
Bild im Anhang

Ich habe dann die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bei denen ich aus Urne 3 eine weiße Kugel ziehe addiert, ähnlich wie bei Aufgabenteil 2. Ist dies korrekt?

Über eine Rückmeldung würde ich mich sehr freuen.

Liebe Grüße,
Alex
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Zu

1) So darfst du nicht rechnen! Es ist richtig, dass es 3 Möglichkeiten gibt, genau zwei weiße Kugeln zu ziehen, aber die unterschiedlichen Kombinationen an schwarzen und weißen Kugeln erlauben es dir nicht, die Binomialverteilung zu verwenden.

2) Richtig.

3) Mach ich mir vllt später Gedanken drüber Big Laugh
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur zu 2) Das ist auch nicht richtig! Du vergisst das Zufallsexperiment "Urne auswählen". Das muss mit einbezogen werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
Daraus folgt:

Ich finde es bemerkenswert, dass du mit einer falschen Rechnung durch Verrechnen in dieser Rechnung am Ende das auf zwei Nachkommastellen richtige Endergebnis erhältst. geschockt
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

ich habe für Aufgabenteil 1 in meinen Unterlagen eine Lösung gefunden, allerdings bzgl. der Wahrscheinlichkeit für genau 2 SCHWARZE Kugeln.

Die Rechnung des Profs. ist P(SSW)+P(SWS)+P(WSS) = 42,23%

Wenn ich dieses Schema nun auf zwei WEIßE anwende:

P(WWS) + P(WSW) + P(SWW) = 34,86%

Wie hätte ich denn nach Lehrbuch vorgehen müssen?

Liebe Grüße,
Alex
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
Wenn ich dieses Schema nun auf zwei WEIßE anwende:

P(WWS) + P(WSW) + P(SWW) = 34,86%

So ist es ja auch vollkommen richtig. Aus welchem irrwitzigen Grund schreibst du dann aber das dazu vollkommen unpassende



hin? Finger1
 
 
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist sicherlich ratsam, die Lösungen des Professors zu studieren und zu verstehen, aber diese Art Beispiele sind oft einfach gehalten. Ich vermute stark, dass in diesem Beispiel in jeder Urne die Anzahl an schwarzen und weißen Kugeln gleich sind, aber da ich dieses Beispiel nicht kenne, ist das auch nur vermutet. Vergleiche die Voraussetzungen mit denen in dieser Aufgabe, das sollte Aufschluss geben.

Sonst: Ich denke das Stichwort zu diesen Aufgaben ist der Produktraum.
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf die Gesamtanzahl der jeweils weißen und schwarzen Kugeln.

Mit Weiß 12/27 = 0,44 (das möchte ich zwei mal ziehen)
Mit Schwarz 15/27 = 0,56 (das möchte ich einmal ziehen)

Ich war der Auffassung, das ich als Produktraum die Gesamtmenge nehmen kann, da ich so oder so aus allen Urnen greife.

Zu Aufgabenteil 2:

Ich würde um das Zufallsexperiment "Urnenwahl" einzuschließen die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten nochmal mit 1/2 multiplizieren und dann addieren, bzw. hier sogar nur das finale Ergebnis zur 2 teilen.

Dann wäre meine Wahrscheinlichkeit, dass ich 4 schwarze hinter einander ziehe gleich 10,32%

Liebe Grüße,
Alex

PS: Die Aufgabenstellung vom Prof, also auch die Verteilung der Kugeln ist ident mit meiner geposteten, lediglich die Fragen sind leicht anders.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
Ich war der Auffassung, das ich als Produktraum die Gesamtmenge nehmen kann, da ich so oder so aus allen Urnen greife.

Nein: Das von dir de facto betriebene "Zusammenschütten" der Urnen verändert das Modell so, dass wahrscheinlichkeitsmäßíg kein Stein auf dem anderen bleibt. Tatsächlich kommt nach diesem falschen Modell übrigens



heraus. Mit Produktraum hat dieses Vorgehen nicht das geringste zu tun. unglücklich
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Du berechnest die Wsk. dafür, dass du bei 3 maligen Ziehen aus der selben Urne, die 12 weiße und 15 schwarze Kugeln enthält, genau 2 mal weiß ziehst. Das ist ein anderes Experiment.

Die Idee ist richtig, aber wieso 1/2 verwirrt

@HAL: darfst gerne übernehmen, bin immo etwas abgelenkt, weil ich selber lernen muss
systa Auf diesen Beitrag antworten »

1/2, weil ich nach 4maligem Ziehen einer schwarzen Kugel die Urne 1 ausschließen kann. Die Anzahl der Kugeln in den Urnen ist mir ja im Vorfeld bekannt.

Wenn ich also 4 schwarze Kugeln ziehe und Urne 1 nur 3 enthält, dann weiß ich, dass ich entweder Urne 2 oder Urne 3 gewählt habe.

Liebe Grüße,
Alex
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann dir leider nicht folgen. Im ersten Zufallsexperiment wird zufällig eine Urne der insgesamt drei Urnen ausgewählt. In der Aufgabenstellung ist doch nicht gegeben, dass du dir eine oder mehrere aussuchen darfst.

Hast du inzwischen eingesehen, warum der Rechenweg zu 1) nicht erlaubt ist=?
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabenteil 1 ist ein wenig klarer geworden. Die Approximation mit 32,92% ist ein wenig daneben, das war in meinen anderen Übungsaufgaben auch so.

___________

Genau, ich wähle eine Urne aus und ziehe 4 schwarze Kugeln. Wenn ich aber weiß, (und das tue ich ja), dass in Urne 1 nur 3 schwarze Kugeln sind, dann kann ich mit Sicherheit sagen, dass ich nicht Urne 1 ausgewählt habe. Folglich interessiert mich Urne 1 auch nicht mehr und ich habe entweder Urne 2 oder Urne 3 gewählt.

Ich komm grade von der falschen Ecke oder ?

LG,
Alex
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Approximation ist das nicht , sondern, wie von HAL bemerkt, Glück, trotz falschem Rechenweg ein annähernd gleiches Ergebnis zu erhalten.

Das hier ist kein Spiel! Du darfst dir nicht aussuchen, aus welcher/welchen Urne/Urnen du ziehst. Das ist ein ZUFALLsexperiment.
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine der drei Urnen auswähle natürlich 1/3.
Dann würde ich sagen:





Die Summe wäre dann 6,89%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich nach zufälligem Auswählen einer Urne 4 schwarze Kugeln zu ziehen wäre damit 6,89%.

Liebe Grüße und danke für die Geduld,
Alex
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Jap. Besser:

zu 1) Hast du denn einen Lösungsweg gefunden?
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

ja, einfach die Wahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Ereignisse addiert, also P(WWS)+P(WSW)+P(SWW) ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit dafür, dass ich unter den 3 Kugeln 2 weiße habe.

Liebe Grüße,
Alex

PS: Bei drei bin ich im Grunde genau so vorgegangen, die Wahrscheinlichkeiten entlang des Baumes ändern sich ab Ebene 2, jenachdem ob eine schwarze oder weiße Kugel der Urne hinzugefügt wurde.
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig doch noch bitte beispielhaft, wie du P(WWS) berechnet hast, k?
systa Auf diesen Beitrag antworten »

P(WWS) wäre Urne 1: Weiß / Urne 2: Weiß / Urne 3: Schwarz
mit sowie und

P(WWS) = 19,44%

Liebe Grüße,
Alex
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, aber man kann das natürlich mathematischer schöner beschreiben

btw: für 1) besser: Das liefert der Satz über die totale Wsk.
Admiral Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 3 ist richtig Freude , sofern die schlussendlichen Prozentangaben stimmen, die habe ich nicht nachgeprüft
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

danke, echt Klasse !

Liebe Grüße,
Alex
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