Matrix S für Diagonalmatrix

18.03.2013, 21:42	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix S für Diagonalmatrix Hallo ! Stehe wiedermal vor einem Problem. Folgende Aufgabenstellung: Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Finden Sie eine Matrix S, so dass $\begin{eqnarray} S^{-1} \cdot A \cdot S \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist. Wir haben zwar in der VO gesagt wenn eine solche Matrix S existiert dann heißt A diagonalisierbar aber das wars dann. War irgendwie die Einleitung von Eigenwerte und Eigenvektoren. Mein einziger Ansatz wär jetzt vllt für S halt zu sagen $\begin{eqnarray} S = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , S^-1 irgendwie auch so, und die Diagonalmatrix halt auch allgemein. Aber da komm ich ja nie auf was...brauch Hilfe ! schonmal danke für die Antworten
18.03.2013, 23:48	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe es auch so versucht und hatte die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 6 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e & 0 \\ 0 & f \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich die linke Seite ausmultiplizert. Dann ist klar, dass das Element (1,2) und das Element (2,1), der entstandenen Matrix, gleich Null sein müssen. Damit ergeben sich zwei Gleichungen, die jeweils getrennt voneinander gelöst werden können. Grüße.
18.03.2013, 23:50	Lamiah	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder löst Du stumpf die Gleichung, was natürlich sehr aufwendig ist. Oder Du machst Dir zu nutze, dass gilt: $\begin{eqnarray} diag(\lambda_1, \lambda_2) = S^{-1}AS, S=\{v_1, v_2\} \end{eqnarray}$ . Die Lambas sind die Eigenwerte und die v's die jeweiligen Eigenvektoren.
19.03.2013, 14:57	paggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antworten ! Habs auf die 2te Art probiert, die Matrix die ich für S rauskrieg dürfte stimmen. Nachgerechnet kommt dann rechts eine Diagonalmatrix raus. nochmal danke !

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