L'Hospital Anwenden

19.03.2013, 08:13

rasputin87

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L'Hospital Anwenden

Hallo,
ich habe eine Frage zu einem Grenzwert, der mit l'hosptal bestimmt werden soll.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+} x*ln(x) \end{eqnarray*}$

l'hosptal geht ja eigentlich nur bei

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Und nun?

19.03.2013, 08:24

Grautvornix

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RE: L'Hospital Anwenden
$\begin{eqnarray*} x=\frac 1{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 08:26

rasputin87

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RE: L'Hospital Anwenden
wie bist du darauf gekommen?

den ln abgeleitet?

Elementare Umformung für unbestimmte Ausdrücke

19.03.2013, 08:31

Grautvornix

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RE: L'Hospital Anwenden
Ln ableiten? geschockt

geschockt

Nö, eher Bruchrechnung aus Klasse 5!

19.03.2013, 08:33

rasputin87

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RE: L'Hospital Anwenden
Ich hätte es so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\frac{1}{ln(x)} } \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 08:35

klarsoweit

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RE: L'Hospital Anwenden
Dann mußt du aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ ableiten. Wenn dir das lieber ist, viel Spaß. smile

smile

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19.03.2013, 08:38

rasputin87

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RE: L'Hospital Anwenden

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann mußt du aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ ableiten. Wenn dir das lieber ist, viel Spaß. smile

smile

Nein das ist mir nicht lieber.
Mich interessiert, wie ich das erhalte...

Zitat:

Original von Grautvornix
$\begin{eqnarray*} x=\frac 1{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 09:10

rasputin87

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RE: L'Hospital Anwenden
also, wenn ich das nach meinen Vorschlag mache:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\frac{1}{ln(x)} } \end{eqnarray*}$ nun darf ich l'hospital anwenden, oder

dann leite ich ab und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{-1}{x * ln x^2}} \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich 0

19.03.2013, 09:14

Grautvornix

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RE: L'Hospital Anwenden
Was ist denn der Kehrwert vom Kehrwert?

Oder:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\frac 1x}=1\div\left(\frac 1x\right)=1\cdot\left(\frac x1\right)=x. \end{eqnarray*}$

Durch Brüche wird dividiert indem man mit deren Kehrwert multipliziert.

Irgendwann einmal wurde sowas in der 5. Klasse gelernt.

19.03.2013, 09:15

klarsoweit

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RE: L'Hospital Anwenden

Zitat:

Original von rasputin87
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{-1}{x * ln x^2}} \end{eqnarray*}$

und dann erhalte ich 0

Und wie kommst du dann auf Null? verwirrt

verwirrt

19.03.2013, 09:22

rasputin87

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Naja wir laufen ja gegen 0+
wenn ich werte die fast an der Null sind einsetzte bekomme ich fast null, oder stimmt meine Ableitung nicht?

19.03.2013, 09:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von rasputin87
wenn ich werte die fast an der Null sind einsetzte bekomme ich fast null

Das mag ja sein, ist aber kein Beweis. Mit der Begründung brauchst du auch kein l'Hospital machen, sondern kannst auch direkt x * ln(x) betrachten.

19.03.2013, 09:34

rasputin87

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Ok dann nochmal ganz langsam.
Meine Ableitung stimmt aber oder?

Wie mache ich jetzt weiter?

19.03.2013, 09:56

Grautvornix

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Mit dem Ansatz

$\begin{eqnarray*} x\ln(x)=\frac x{\frac 1{\ln(x)}} \end{eqnarray*}$

drehst Du Dich im Kreis, denn mit L'Hospital gelangst Du nun - wie Du richtig berechnet hast - zu

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\frac {-1}{x\ln^2(x)}}=-x\ln^2(x) \end{eqnarray*}$

und bist so schlau wie zuvor.

Betrachte also - wie vor geraumer Zeit schon angeraten -

$\begin{eqnarray*} x\ln(x)=\frac {\ln(x)}{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 10:01

rasputin87

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Zitat:

Original von Grautvornix
Betrachte also - wie vor geraumer Zeit schon angeraten -

$\begin{eqnarray*} x\ln(x)=\frac {\ln(x)}{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\ln(x)=\frac {\ln(x)}{\frac 1x} = \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ableiten?

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2} } = \frac{1 * x^2}{-1x} \end{eqnarray*}$

19.03.2013, 10:17

Grautvornix

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Etwas ergänzt:

Zitat:

Original von rasputin87
...
Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2} } = -\frac{x^2}x=-x \end{eqnarray*}$

Genau!

Und die Existenz von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0+}x=0 \end{eqnarray*}$ gestattet dann gemäß L'Hospital den gewünschten Rückschluß auf den eigentlich gesuchten Grenzwert.

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